قضیه استوارت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
قضیه استوارت

قضیه استوارت، (به انگلیسی: Stewart's theorem) در هندسه اندازه پاره‌خط وارد از یک رأس بر ضلع روبرو را بر حسب اندازه اضلاع مثلث و دو پاره‌خط ایجاد شده بر روی ضلع می‌دهد. به افتخار ریاضیدان اسکاتلندی متیو استوارت که در مقاله‌ای در سال ۱۷۴۸ این قضیه را منتشر کرد، این قضیه را قضیه استوارت نامیده‌اند.[۱]

اگر b ،a و c طول اضلاع مثلت و p طول پاره خط مورد نظر باشد، آنگاه:

 a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y \, و یا:

 ap^2 = b^2 x + c^2 y - axy  \,

که x و y طول دو پاره‌خط ایجاد شده بر ضلع هستند.

اثبات[ویرایش]

اگر محل برخورد پاره‌خط p و ضلع BC را P بنامیم، آنگاه بنابر قانون کسینوس‌ها برای دو زاویه APB و APC داریم:

 b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,

 c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }\,

با ضرب کردن x در جمله اول و y در جمله دوم معادلات زیر بدست می‌آید:

 x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,

 y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }\,

حال با جمع کردن دو معادله بالا بدست می‌آید:

 x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y) \,

که همان معادله قضیه استوارت است.

منابع[ویرایش]

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Stewart's theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۰ ژوئیه ۲۰۰۸).