دینامیک سازه‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

دینامیک سازه‌ها (Structural dynamics) زیر شاخه‌ای ست از تحلیل سازه‌ها و تئوری ارتعاشات است که به آنالیز و مطالعه رفتار سازه‌ها تحت اثر بارهای دینامیکی می‌پردازد.

مقدمه[ویرایش]

بارهای وارده بر سازه در بعضی موارد ممکن است از نظر مقدار، جهت و موقعیت تغییراتی نسبت به زمان داشته باشند. این بارها را اصطلاحاً بارهای دینامیکی گویند. در چنین حالتی رفتار سازه «مقادیر تغییر شکلها، نیروهای داخلی و تنشها» وابسته به زمان خواهد بود. بنابراین رفتار سازه در این حالت بر عکس رفتار استاتیکی آن جواب منحصربه‌فردی نخواهد داشت، بلکه در هر لحظه از زمان، رفتار خاصی برای آن موجود خواهد بود که به آن رفتار دینامیکی می گویند.

در اثر اعمال بارهای دینامیکی، تغییر مکان حاصله همراه با سرعت و شتاب خواهد بود. جهت مقابله با شتاب وارده، نیرویی به نام نیروی لختی در اثر جرم و جهت مقابله با سرعت، نیروی میرایی در اثر اصطکاک بین ذرات، لقی اتصالات و غیره بوجود می آید. بنابراین نیروهای داخلی سازه نه تنها می باید با بارگذاری اعمال شده بر آن در تعادل باشند، بلکه نیروهای لختی ناشی از شتاب و میرایی ناشی از سرعت نیز در تعادل مؤثر می باشند. از جمله اثرات دینامیکی وارد بر سازه ها و ساختمان ها می توان به موارد زیر اشاره کرد:[۱]

  1. اثر زلزله
  2. نیروی باد
  3. نیروی ناشی از امواج بر سازه های دریایی
  4. اثر انفجارها
  5. بارهای متحرک ترافیکی
  6. پی ماشین آلات

اجزای تشکیل دهنده یک سیستم ارتعاشی شامل جرم، فنر، میرا کننده و نیروی محرک است که برای سیستم های حقیقی معمولاً پیوسته هستند. ولی در بیشتر مواقع با جایگزین کردن خواص پیوسته به صورت ناپیوسته ممکن است تجزیه و تحلیل را ساده تر نمود. بعد از آنکه خصوصیات مکانیکی هر جزء تعیین گردید، آنالیست در وضعیتی می باشد که می تواند یک مدل ریاضی تشکیل دهد که نمایانگر سیستم حقیقی است.
با توجه به مطالب ذکر شده، سیستم های ارتعاشی را می توان بر حسب نوع مدل ریاضی به دو دسته طبقه بندی نمود؛ مدل های پیوسته دارای تعداد درجات آزادی معینی هستند، حال آنکه سیستم های ناپیوسته دارای بی نهایت درجه آزادی هستند. طبق تعریف درجه آزادی عبارتست از تعداد مختصات مستقل برای توصیف حرکت یک سیستم.
[۲]

معادلات حرکت سیستم های یک درجه آزادی[ویرایش]

کلیات[ویرایش]

معادلات حرکت، روابط ریاضی حاکم بر تغییر مکانهای دینامیکی دستگاه ها می باشد. معادلات حرکت به طور کلی از سه روش مختلف بدست می آیند که هرکدام از آن ها در حالت خاص ممکن است از دو روش دیگر مناسبتر باشد.

  1. قوانین حرکت نیوتن (اصل دالامبر)
  2. اصل هامیلتون
  3. اصل کار مجازی

روش تعادل دینامیکی ( اصل دالامبر)[ویرایش]

نیروی لختی که نمایانگر مقاومت جسم در مقابل شتاب حرکت می باشد از رابط زیر بر حسب شتاب حرکت حاصل می گردد:

p(t)+m\ddot{u}(t)=0

به کمک این اصل معادلات حرکت اجسام را می توان با در نظر گرفتن نیروی لختی به شکل مشابه تعادل استاتیکی اجسام بدست آورد. به عبارت دیگر اگر نیروی اینرسی را به عنوان نیروی مقاوم در برابر شتاب گرفتن و در خلاف جهت حرکت، وارد پیکره آزاد جسم نماییم معادله حرکت آن را می توان با نوشتن معادله تعادل کلیه نیروهای موجود در پیکره آزاد جسم به سادگی بدست آورد. نیروی (P(t نیز می تواند نیروی خارجی، نیروی ارتجاعی و یا نیروی میرایی باشد.

اصل هامیلتون[ویرایش]

در برخی موارد به کار بردن روش انرژی که بر اساس کمیت های عددی انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل دستگاه می باشد، نسبت به روش برداری مناسب تر است. این روش که مبتنی بر اصل هامیلتون می باشد، معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

\int_{t_1}^{t_2}\delta(T-V)\,dt+ \int_{t_1}^{t_2}\delta W\,dt=0

که در این رابطه:
T: انرژی جنبشی
V: انرژی پتانسیل
W: کار انجام شده توسط نیروهای غیرپتانسیل نظیر نیروی میرایی و بارهای خارجی دلخواه
\delta\,: نشان دهنده تغییرات این انرژیها
اصل هامیلتون بیان می دارد :

مجموع تغییرات انرژی های جنبشی و پتانسیل دستگاه و کار انجام شده توسط نیروهای غیرپتانسیل در فاصله زمانی \Delta t=t_2-t_1 برابر صفر است.

اصل کار مجازی[ویرایش]

اصل کار مجازی بیان می دارد:

کار مجازی انجام شده توسط نیروهای فعال خارجی بر روی یک مجموعه مکانیکی ایده‌آل در حد تعادل به ازای هرگونه جابجایی مجازی سازگار با قیود مجموعه مساوی صفر است.
شرط تعادل سیستم هم ارز با صفر بودن نیروها در یک تغییر مکان مجازی می باشد. طرز به کار بردن این اصل برای دستیابی به معادله حرکت دستگاه به این ترتیب است که ابتدا باید کلیه نیروهای وارده بر جرم های متمرکز شده دستگاه را مشخص نمود. به ویژه نیروهای لختی که طبق اصل دالامبر بدست آمده اند، سپس در هر درجه آزادی دستگاه تغییر مکان نسبی ایجاد کرده و کار انجام شده توسط نیروهای متعادل کننده را برابر صفر قرار می دهیم. به این ترتیب برای n درجه آزادی n معادله تعادل می توان نوشت که به n معادله حرکت دستگاه منتهی می گردد. اگر دستگاه شامل تعداد زیادی جرم متمرکز باشد روش های انرژی یا مکان های مجازی مناسبتر می باشد.

نیروهای مؤثر در معادلات حرکت[ویرایش]

نیروهای مؤثر در معادله حرکت دستگاه هایی که به صورت یک درجه آزادی مدل شده اند، عبارت از نیروهای مقاوم در مقابل تغییر مکان، سرعت و شتاب می باشد.عاملی که تغییرمکان را به نیرو مربوط می کند معمولاً به شکل فنر مدل می شود.
نیروی فنر fs همواره در امتداد محور فنر عمل می کند، در محدوده تغییر طول های کوچک رابطه نیرو و تغییر طول فنر را به صورت خطی در نظر می گیریم، از آنجا که تغییر طول مدلی از تغییر شکل واقعی سازه می باشد با توجه به خطی بودن رابطه نیرو- تغییر مکان در محدوده ی تغییر شکلهای کوچک سازه طبق قانون هوک، این فرض کاملاً منطقی است؛ لذا می توان نوشت:
f_s=ku

که در آن k ثابت فنر نامیده شده و واحد آن عبارتست از واحد نیرو بر واحد طول .
در یک سازه ی تغییر شکل یافته به غیر از جذب انرژی ناشی از تغییر شکل ارتجاعی آن که با فنر بالا مدل می شود، مقداری انرژی نیز تلف می گردد. به عبارت دیگر در هنگام تغییر شکل سازه، مکانیزم های میرایی در آن بوجود می آید. مدل تحلیلی متداولی که برای میرایی در تحلیل های دینامیکی در نظر گرفته می شود، کمک فنر ویسکوز می باشد. ثابت تناسب نیروی میرایی با سرعت، ضریب میرایی نامیده شده و با C نمایش داده می شود. بنابراین نیروی میرایی را می توان با رابطه زیر در معادله تعادل منظور نمود.
f_d=C(\dot{u_2}-\dot{u_1})=C\dot{u}

واحد C در دستگاه SI برابر \cfrac{N.sec}{m} است.

تعیین کردن و منظور کردن نیروهای لختی در معادلات حرکت شاید مهمترین بخش از مراحل تعیین این معادلات باشد. نیروی لختی ذره از معادله حرکت نیوتن بدست می آید:

\sum F=m\ddot{u}

f_I=-m\ddot{u}

در این رابطه m جرم ذره و شتاب آن نسبت به دستگاه مختصات ماند می باشد که به شکل یک دستگاه متعامد واقع در یک نقطه از فضا و بدون حرکات انتقالی و چرخشی فرض می شود. علامت منفی نمایانگر این است که نیروی لختی در جهت عکس شتاب حرکتی منظور می گردد.معادل تعادل دینامیکی را می توان به شکل زیر نوشت.

\sum F+f_I=0

یعنی نیروی لختی را از حاصلضرب جرم ذره در شتاب حرکت آن بدست آورده و در خلال جهت بردار شتاب وارد معادله تعادل نیروها می نماییم.

معادلات حرکت سیستم های n درجه آزادی[ویرایش]

روش دیگری که می توان با آن معادلات حرکت را بدست آورد استفاده از ضریب تأثیر است. هدف از ارائه این روش تفهیم تعبیر فیزیکی عناصر ماتریسهای ضرایب است که در معادلات حرکت ظاهر می شود.
M\ddot{X}+C\dot{X}+KX=F(t)
دراین معادله دیفرانسیل برداری, هر مختصه x_i(t) مشخصه یک درجه آزادی سیستم است. در هر مختصه یک نیروی خارجی معلوم p_i(t) اعمال می شود که در حالت تعادل این نیرو باید به وسیله نیروهای داخلی وارده در آن نقطه متعادل شود. این نیروهای داخلی عبارتند از:نیروی اینرسی f_mi ، نیروی میرائی f_di و نیروی الاستیک f_ki .

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. برگی، خسرو. دینامیک سازه ها، انتشارات دانشگاه تهران، 1386
  2. نیکخواه بهرامی، منصور. تئوری ارتعاشات و کاربرد آن در مهندسی، انتشارات دانشگاه تهران، 1382