جبر لی

تعریف و ویژگی‌ها

یک جبر لی $\,\mathfrak{g}$ یک فضای برداری بر یک میدان $F$ است که به یک حاصلضرب $[\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ مجهز است که براکت لی نامیده می‌شود و در خواص زیر صدق می‌کند:

1-دوخطی: $[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

2- پادتقارنی: $[x,y]=-[y,x].$

3- اتحاد ژاکوبی: $[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad$

ساختار جبر لی

مطالعه جبرهای لی با مطالعه ساختارشان بسیار ساده می شود. ساختار با استفاده از ویژگی‌های جابجایی جبر لی مشخص می شوند.

ساختار یک جبر لی، یا یک جبر محلی لی توسط ثابت ساختار که بر حسب جملات بردارهای پایه $X_i$ تعریف می شوند، خلاصه می شود:

$[X_i,X_j ]=c_ij^k X_k$

ثوابت ساختار $c_ij^k$ مولفه هایی از یک تانسور مرتبه سه هستند که در دو اندیس خود کواریان $( c_ij^k=-c_ji^k)$ و در اندیس سوم کونتراواریان هستند. این مولفه‌ها از تساوی ژاکوبی پیروی می کنند که یک قید درجه دو بر روی ثوابت اعمال می کند.

$c_ij^s c_sk^t+c_jk^s c_si^t+c_ki^s c_sj^t=0$

خطی سازی گروه لی یک جبر لی می سازد. یک گروه لی را می توان با معکوس کردن این فرایند بازیابی کرد. این فرایند به عمل به نما رسانی موسوم است.

جبر لی ماتریسی

مجموعه ای از ماتریسهای $n\times n$ که تحت جمع برداری، ضرب اسکالری و جابجایی بسته باشند یک جبر لی ماتریسی می سازد. ویژگی‌های پادتقارنی و تساوی ژاکوبی توسط ضرب ماتریسی ارضا می شود.

قضایای مربوط به جبر لی

یک نظریه عمیق منتصب به آدو به نام قضیه آدو بیان می دارد که هر جبر لی معادل است با یک جبر لی ماتریسی، گر چه که عکس آن برای گروه‌های لی درست نیست (هر جبر لی ماتریسی را نمی توان به یک گروه لی منتصب کرد.)

منبع

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5