جبر لی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تعریف و ویژگی‌ها[ویرایش]

یک جبر لی \,\mathfrak{g} یک فضای برداری بر یک میدان F است که به یک حاصلضرب [\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} مجهز است که براکت لی نامیده می‌شود و در خواص زیر صدق می‌کند:

1-دوخطی:  [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]

2- پادتقارنی: [x,y]=-[y,x].

3- اتحاد ژاکوبی:  [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad [۱]

ساختار جبر لی[ویرایش]

مطالعه جبرهای لی با مطالعه ساختارشان بسیار ساده می شود. ساختار با استفاده از ویژگی‌های جابجایی جبر لی مشخص می شوند.

ساختار یک جبر لی، یا یک جبر محلی لی توسط ثابت ساختار که بر حسب جملات بردارهای پایه X_i تعریف می شوند، خلاصه می شود:

[X_i,X_j ]=c_ij^k X_k

ثوابت ساختار c_ij^k مولفه هایی از یک تانسور مرتبه سه هستند که در دو اندیس خود همورد ( c_ij^k=-c_ji^k) و در اندیس سوم پادورد هستند. این مولفه‌ها از تساوی ژاکوبی پیروی می کنند که یک قید درجه دو بر روی ثوابت اعمال می کند.

 c_ij^s c_sk^t+c_jk^s c_si^t+c_ki^s c_sj^t=0

خطی سازی گروه لی یک جبر لی می سازد. یک گروه لی را می توان با معکوس کردن این فرایند بازیابی کرد. این فرایند به عمل به نما رسانی موسوم است.

جبر لی ماتریسی[ویرایش]

مجموعه ای از ماتریسهای n\times n که تحت جمع برداری، ضرب اسکالری و جابجایی بسته باشند یک جبر لی ماتریسی می سازد. ویژگی‌های پادتقارنی و تساوی ژاکوبی توسط ضرب ماتریسی ارضا می شود.

قضایای مربوط به جبر لی[ویرایش]

یک نظریه عمیق منتصب به آدو به نام قضیه آدو بیان می دارد که هر جبر لی معادل است با یک جبر لی ماتریسی، گر چه که عکس آن برای گروه‌های لی درست نیست (هر جبر لی ماتریسی را نمی توان به یک گروه لی منتصب کرد.)

منابع[ویرایش]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  1. Humpfrey p. 1