ناهمبسته: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۲۹ مهٔ ۲۰۰۹، ساعت ۲۱:۲۲

در علم آمار و نظریه احتمالات، دو متغیر تصادفی حقیقی را ناهمبسته و یا ناوابسته (به انگلیسی: Uncorrelated) می‌گوییم اگر کواریانس آنها صفر باشد.^[۱]

ناهمبستگی و استقلال

دو متغیر تصادفی حقیقی مستقل همواره ناهمبسته خواهند بود اما دو متغیر ناهمبسته لزوماً مستقل از هم نیستند. به عنوان مثال فرض کنید که $\ \theta$ متغیر تصادفی یکنواخت روی بازه $\ [0,2\pi ]$ باشد. فرض کنید: $\ X=Cos\theta$ و $\ Y=Sin\theta$ . آنوقت $\ X$ و $\ Y$ ناهمبسته هستند، ولی مستقل از هم نیستند! ولی دو متغیر تصادفی ناهمبسته با توزیع مشترک گوسی از هم مستقل خواهند بود.^[۱] این نکته تنها زمانی درست است که دو متغیر توزیع مشترک گوسی داشته باشند؛ اینکه تک تک متغیرها توزیع گوسی داشته باشند، کافی نیست.^[۲] مثلاً فرض کنید مغیر تصادفی $\ X$ توزیع گوسی با امید ریاضی صفر و واریانس یک دارد. فرض کنید که $\ W$ متغیر تصادفی ای است مستقل از $\ X$ که با احتمال $\ {\frac {1}{2}}$ مقدارش یک است، و با احتمال $\ {\frac {1}{2}}$ مقدارش منهای یک. فرض کنید $\ Y=W\times X$ . آنوقت $\ X$ و $\ Y$ ناهمبسته هستند، هر دو توزیع گوسی یکسانی دارند، ولی مستقل از هم نیستند! دقت کنید که $\ X$ و $\ Y$ توزیع مشترک گوسی ندارند زیرا $\ X+Y$ توزیع گوسی ندارد (زیرا $\ P(X+Y=0)={\frac {1}{2}}$ ).

پانویس

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ Leon-Garcia, Alberto (2007). Probability, Statistics, and Random Processes for Electrical Engineering. Prentice Hall. pp. p. 260. ISBN 0131471228, 9780131471221. {{cite book}}: |pages= has extra text (help); Check |isbn= value: invalid character (help)
↑ Kay, Steven M. (2006). Intuitive probability and random processes using MATLAB. Birkhäuser. pp. p. 462. ISBN 0387241574, 9780387241579. {{cite book}}: |pages= has extra text (help); Check |isbn= value: invalid character (help)

[Garcia-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ Leon-Garcia, Alberto (2007). Probability, Statistics, and Random Processes for Electrical Engineering. Prentice Hall. pp. p. 260. ISBN 0131471228, 9780131471221. {{cite book}}: |pages= has extra text (help); Check |isbn= value: invalid character (help)

[2] Kay, Steven M. (2006). Intuitive probability and random processes using MATLAB. Birkhäuser. pp. p. 462. ISBN 0387241574, 9780387241579. {{cite book}}: |pages= has extra text (help); Check |isbn= value: invalid character (help)

[۱]

[۲]

@@ خط ۲: / خط ۲: @@
 ==ناهمبستگی و استقلال==
-دو متغیر تصادفی حقیقی مستقل همواره ناهمبسته خواهند بود اما دو متغیر ناهمبسته لزوماً مستقل از هم '''نیستند'''. به عنوان مثال فرض کنید که <math>\ \theta </math> متغیر تصادفی یکنواخت روی بازه <math>\ [0,2\pi] </math> باشد. فرض کنید:  <math>\ X= Cos \theta </math> و  <math>\ Y= Sin \theta </math>. آنوقت <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> ناهمبسته هستند، ولی مستقل از هم نیستند! ولی دو متغیر تصادفی ناهمبسته ''با توزیع مشترک گوسی'' از هم مستقل خواهند بود.<ref name="Garcia"/> این نکته تنها زمانی درست است که دو متغیر توزیع ''مشترک'' گوسی داشته باشند؛ اینکه تک تک متغیرها توزیع گوسی داشته باشند، کافی نیست. مثلاً فرض کنید مغیر تصادفی <math>\ X</math> توزیع گوسی با [[امید ریاضی]] صفر و [[واریانس]] یک دارد. فرض کنید که <math>\ W</math> متغیر تصادفی ای است مستقل از <math>\ X</math> که با احتمال <math>\ \frac{1}{2}</math> مقدارش یک است، و با احتمال  <math>\ \frac{1}{2}</math> مقدارش منهای یک. فرض کنید <math>\ Y=W\times X</math>. آنوقت <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> ناهمبسته هستند، هر دو توزیع گوسی یکسانی دارند، ولی مستقل از هم نیستند! دقت کنید که <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> توزیع مشترک گوسی ندارند زیرا <math>\ X+Y </math> توزیع گوسی ندارد (زیرا <math>\ P(X+Y=0)=\frac{1}{2} </math>).
+دو متغیر تصادفی حقیقی مستقل همواره ناهمبسته خواهند بود اما دو متغیر ناهمبسته لزوماً مستقل از هم '''نیستند'''. به عنوان مثال فرض کنید که <math>\ \theta </math> متغیر تصادفی یکنواخت روی بازه <math>\ [0,2\pi] </math> باشد. فرض کنید:  <math>\ X= Cos \theta </math> و  <math>\ Y= Sin \theta </math>. آنوقت <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> ناهمبسته هستند، ولی مستقل از هم نیستند! ولی دو متغیر تصادفی ناهمبسته ''با توزیع مشترک گوسی'' از هم مستقل خواهند بود.<ref name="Garcia"/> این نکته تنها زمانی درست است که دو متغیر توزیع ''مشترک'' گوسی داشته باشند؛ اینکه تک تک متغیرها توزیع گوسی داشته باشند، کافی نیست.<ref>{{cite book|last=Kay|first=Steven M.|title=Intuitive probability and random processes using MATLAB|publisher=Birkhäuser|date=2006|pages=p. 462|isbn=0387241574, 9780387241579}}</ref> مثلاً فرض کنید مغیر تصادفی <math>\ X</math> توزیع گوسی با [[امید ریاضی]] صفر و [[واریانس]] یک دارد. فرض کنید که <math>\ W</math> متغیر تصادفی ای است مستقل از <math>\ X</math> که با احتمال <math>\ \frac{1}{2}</math> مقدارش یک است، و با احتمال  <math>\ \frac{1}{2}</math> مقدارش منهای یک. فرض کنید <math>\ Y=W\times X</math>. آنوقت <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> ناهمبسته هستند، هر دو توزیع گوسی یکسانی دارند، ولی مستقل از هم نیستند! دقت کنید که <math>\ X </math> و <math>\ Y </math> توزیع مشترک گوسی ندارند زیرا <math>\ X+Y </math> توزیع گوسی ندارد (زیرا <math>\ P(X+Y=0)=\frac{1}{2} </math>).
 == پانویس ==