کوواریانس

در نظریه احتمالات کواریانس یا هم‌وردایی (به انگلیسی: Covariance)‏، اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها $\scriptstyle E(X)=\mu\,$ و $\scriptstyle E(Y)=\nu\,$ هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\operatorname{Cov}(X, Y) =\operatorname{E}{\big[(X - \operatorname{E}[X])(Y - \operatorname{E}[Y])\big]}= \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu))\,$

چنانکه دو متغیر تصادفی ناوابسته باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.

خواص کواریانس

اگر $X ,Y ,W , V$ متغیر های تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و $a ,b ,c ,d$ اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:

$\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,$

$\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,$

$\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,$

$\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,$

$\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,$

$\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,$

میتوانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه ای برای محاسبه ی آن پیدا کنیم

$\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))\cdot (Y-\operatorname{E}(Y))\right) = \operatorname{E}(X \cdot Y) -\operatorname{E}(X)\cdot \operatorname{E}(Y)$

ناهمبستگی و استقلال

اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده میشوند. اگر دو متغیر تصادفی $X , Y$ مستقل باشند آنگاه کواریانس آنها صفر است .این موضوع را میتوان به این صورت نتیجه گرفت :

چون $\operatorname{E}(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y).$

$\operatorname{Cov}(X, Y) = 0 \,$

عکس این موضوع صحیح نیست، یعنی ممکن است کواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد ولی آن دو متغیر تصادفی مستقل نباشند.

ماتریس کوواریانس

اگر X را ۱*n و Y را m*۱ در نظر بگیریم انگاه:
'[Cov(X,Y) = E[(X -E[X])(Y - E[Y])'] =E[X Y'] - E[X]E[Y
به گونه ای که عضو i،j برابر وردای (کواریانس)iامین عضو X و j امین عضو Y می باشد.

واژه شناسی

فرهنگستان زبان وردیدن، از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای واریانس برگزیده است و از این فعل مشتقات وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، ناوردا(invariant)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

جستارهای وابسته

• امیدریاضی
• واریانس

منبع

• سعید رضاخواه. آمار و احتمال کاربردی. چاپ اول اسغند ۱۳۷۹. انتشارات دانشگاه امیر کبیر. ۷۷. ISBN 964-463-091-2 (کتابخانه ملی : م۷۹-۲۰۶۷۴). 
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Covariance»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۰ آوریل ۲۰۰۹).