معادلات اویلر (دینامیک سیالات)

نمایی از ساختار معادلهٔ «ذرهٔ سیال تحت تأثیر نیروهای سطحی»

معادلات اویلر (Euler equations) در دینامیک سیالات، مدل ریاضی حاکم بر حرکات، جریانات، و دینامیک سیالات غیر لزج را نمایش می‌دهند. معادلهٔ اویلر می‌تواند هم در جریان تراکم پذیر و هم در جریان تراکم ناپذیر استفاده شود.

معادلات اویلر به فرم بقاء مؤلفات

نمایش به صورت معادلات دیفرانسیل:

${\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}$

که در اینجا:

• ρ عبارت است از چگالی جرم سیال،
• u بردار سرعت سیال است و مؤلفه‌های v, u، و w را داراست.
• E = ρ e + ½ ρ (u^۲ + v^۲ + w^۲ انرژی کل در حجم واحد است، e انرژی داخلی در جرم واحد، و p فشار سیال را نمایش می‌دهد.

شایان توجه است که معادلهٔ وسط در دستگاه معادلات اویلر برداری است و در حکم سه معادله برای سه مؤلفهٔ سرعت سیال کار می‌کند.

معادلهٔ وسط شامل واگرایی یک ضرب دو تایی است، و ممکن است نمایش آن به صورت اندیس‌دار (برای هر j از ۱ تا ۳) آشکارائی و وضوح بیشتری را دارا باشد.

${\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0$

در این حال اندیس‌های i و j سه مؤلفه دکارتی را شامل هستند: (x۱ , x۲, x۳) = (x , y، z) و (u1 , u2, u۳) = (u , v، w)

معادلات فوق به صورت معادلات بقاء نمایش داده شده‌اند چرا که این قالب تأکید زیادتری بر روی مبادی فیزیکی دستگاه معادلات داشته و در اغلب موارد مناسب‌ترین فرم را جهت شبیه‌سازی‌های دینامیک محاسباتی سیالات عرضه می‌دارد.

معادله بقاء ممنتوم را به این صورت هم می‌توان نشان داد که فرم غیر بقاء آن است:

$\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0$

جستارهای وابسته

• معادلات ناویه-استوکس
• دینامیک سیالات محاسباتی
• دینامیک گازها
• مهندسی مکانیک
• مهندسی هوا و فضا
• یادواره‌های لئونارد اویلر
• معادلات اویلر (دینامیک اجسام صلب)

منابع

• Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.

اظهار نظر: این کتاب از جملهٔ مشهورترین مراجع کلاسیک جهت دینامیک سیالات است.

• روش‌های عددی برای حل معادلات اویلر در دینامیک سیالات (انگلیسی)