مسئله فروشنده دوره‌گرد

اگر فروشنده دوره‌گرد از نقطه A شروع کند و فواصل بین نقاط مشخص باشد، کوتاه‌تربن مسیر که از تمام نقاط یکبار بازدید می‌کند و به A بازمی‌گردد کدام است؟

مسئله فروشنده دوره‌گرد (به انگلیسی: Travelling salesman problem، به‌اختصار: TSP) مسئله‌ای مشهور در بهینه‌سازی ترکیبیاتی است که ابتدا در سده ۱۸ مسائل مربوط به آن توسط ویلیام همیلتون و چوریو مطرح شد و سپس در دهه ۱۹۳۰ شکل عمومی آن به وسیله ریاضیدانانی مثل کارل منگر از دانشگاه هاروارد و هاسلر ویتنی از دانشگاه پرینستون مورد مطالعه قرار گرفت.

شرح مسئله بدین شکل است که:

تعدادی شهر داریم و هزینه رفتن مستقیم از یکی به دیگری را می‌دانیم. مطلوب است کم‌هزینه‌ترین مسیری که از یک شهر شروع شود و از تمامی شهرها دقیقاً یکبار عبور کند و به شهر شروع بازگردد.

تعداد جواب‌های شدنی مسئله، برابر است با ${\frac {1}{2}}(n-1)!$ برای n>۲ که n تعداد شهرها می‌باشد. در واقع این عدد برابر است با تعداد دورهای همیلتونی در یک گراف کامل با n رأس.

شیوه نمایش راه‌حل

مسئله فروشنده دوره‌گرد، یکی از مسائل بسیار مهم و پرکاربرد در علوم رایانه و تحقیق در عملیات است.

سه روش کلی برای مدل‌سازی راه حل‌های مسئلهٔ فروشنده دوره‌گرد ارائه شده است که در الگوریتم‌ها و هیوریستیک‌های مختلفی قابل استفاده هستند. راه حل‌های سه‌گانه عبارتند از:

نمایش جواب به صورت رشته گسسته جایگشتی که در الگوریتم‌های زیر قابل استفاده است:
1. الگوریتم ژنتیک
2. تبرید شبیه‌سازی شده
3. جستجوی ممنوعه
4. جستجوی همسایگی متغیر
5. بهینه‌سازی کلونی مورچه‌ها
6. جستجوی هارمونی
7. سایر الگوریتم‌های بهینه‌سازی گسسته
نمایش جواب به صورت کلیدهای تصادفی که در الگوریتم‌های زیر قابل استفاده است:
1. الگوریتم ژنتیک
2. بهینه‌سازی ازدحام ذرات
3. الگوریتم رقابت استعماری
4. تکامل تفاضلی
5. بهینه‌سازی مبتنی بر جغرافیای زیستی
6. استراتژی‌های تکاملی
7. برنامه‌ریزی تکاملی
8. سایر الگوریتم‌های بهینه‌سازی پیوسته
نمایش جواب به شکل ماتریس‌های شبیه فرومون که توسط تمامی الگوریتم‌های اشاره شده در مورد ۱ قابل استفاده می‌باشد.

مسئله معادل در نظریه گراف به این صورت است که یک گراف وزن‌دار کامل داریم که می‌خواهیم کم‌وزن‌ترین دور همیلتونی را پیدا کنیم.
مسئله تنگراه فروشنده دوره‌گرد مسئله‌ای بسیار کاربردی است که در یک گراف وزن‌دار کم‌وزن‌ترین دور همیلتونی را می‌خواهد که شامل سنگین‌ترین یال باشد.
تعمیم‌یافته مسئله فروشنده دوره‌گرد دارای ایالت‌هایی است که هر کدام حداقل یک شهر دارند و فروشنده باید از هر ایالت دقیقاً از یک شهر عبور کند. این مسئله به «مسئله سیاست‌مدار مسافر» نیز شهرت دارد.

الگوریتم‌ها

مسئله فروشنده دوره‌گرد جزء مسائل ان‌پی سخت است. راه‌های معمول مقابله با چنین مسائلی عبارتند از:

طراحی الگوریتم‌هایی برای پیدا کردن جواب‌های دقیق که استفاده از آن‌ها فقط برای مسائل با اندازه کوچک صورت می‌گیرد.
استفاده از الگوریتم‌های جستجو که جواب‌هایی بدست می‌دهد که احتمالاً درست هستند.
پیدا کردن زیرمسئله‌هایی از مسئله یا به عبارت دیگر تقسیم مسئله به مسئله‌های کوچکتر، تا بتوان الگوریتم‌های جستجوی بهتر و دقیق‌تری ارائه داد.

الگوریتم‌های دقیق

سرراست‌ترین راه حل امتحان کردن تمامی جایگشتهای ممکن برای پیدا کردن ارزان‌ترین مسیر است که چون تعداد جایگشت‌ها $n!$ است، این راه حل با بالا رفتن فضای جستجو غیرعملی می‌شود. با استفاده از برنامه‌نویسی پویا مسئله می‌تواند با مرتبه زمانی $O(n^{2}2^{n})$ حل شود. راه‌های دیگر استفاده از الگوریتم‌های انشعاب و تحدید برای ۴۰ تا ۶۰ شهر، استفاده از برنامه‌نویسی خطی برای کوچکتر از ۲۰۰ شهر و استفاده از روش برش-صفحه برای اندازه‌های بزرگ است.

الگوریتم‌های مکاشفه‌ای

الگوریتم‌های تقریبی متنوعی وجود دارند که خیلی سریع جواب‌های درست را با احتمال بالا به‌دست می‌دهند که می‌توان آن‌ها را به صورت زیر دسته‌بندی کرد:

مکاشفه‌ای سازنده
بهبود تکراری
- مبادله دوبه‌دو
- مکاشفه‌ای k-opt
- مکاشفه‌ای V-opt
بهبود تصادفی

پیچیدگی محاسباتی الگوریتم فروشنده دوره‌گرد

این الگوریتم به‌طور مستقیم در مرتبه زمانی $O(n!)$ حل می‌شود اما اگر به روش برنامه‌نویسی پویا برای حل آن استفاده کنیم مرتبه زمانی آن $O(n^{2}.2^{n})$ خواهد شد که از مرتبه نمایی است. باید توجه داشت علی‌رغم آن‌که مرتبه نمایی مذکور زمان بسیار بدی است اما همچنان بسیار بهتر از مرتبه فاکتوریل می‌باشد. شبه کد الگوریتم فوق به صورت زیر است که در آن تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه $n$ عضوی $2^{n}$ می‌باشد وحلقه for اول یک ضریب $n$ را نیز حاصل می‌شود که به ازای تمام شهرهای غیر مبدأ می‌باشد و حاصل $n.2^{n}$ را پدیدمی‌آورد؛ بنابراین برای جستجوی کمترین مقدار نیاز به یک عملیات خطی از مرتبه $n$ داریم که در زمان فوق نیز ضرب می‌شود و در نهایت زمان $2^{n}.n^{2}$ را برای این الگوریتم حاصل می‌کند.

C({1},1) = 0
  for (S=2 to n)
  for All Subsets S subset of {1,2,3,...} of size S and containing1
  C(S,1) = &
  for All J member of S , J<>1
  C (S , J) = min { C (S - { J } , i) + D i,J: i member of S , i <> J }
 return min j C ({1 . . . n}, J) + D J,1

شبه کد مسئله فروشنده دوره‌گرد

مسئله: یک تور بهینه برای یک گراف وزن دار و جهت دار مشخص نمایید. وزن‌ها اعدادی غیر منفی هستند

ورودی: یک گراف وزن دار و جهت دار و $n$ تعداد گره‌های گراف. گراف با یک ارائه دو بعدی $w$ مشخص می‌شود که سطرها و ستون‌هایش از $1$ تا $n$ شاخص دهی شده‌اند و در آن $w_{ij}$ معرف وزن لبه از گره iام به گره jام است.

خروجی: یک متغیر minlength که مقدار ان طول تور بهینه است و یک ارائه دو بعدی p که یک تور بهینه را از روی ان می‌توان ساخت. سطرهای p از ۱ تا n و ستون‌های ان با تمامی زیر مجموعه‌های {v-{v1 شاخص دهی شده‌اند . [P[i][A شاخص اولین گره بعد از vi بر روی کوتاهترین مسیر از viتاvj است که از تمام گره‌های A دقیقاً یکبار می‌گذرد.

* Void travel ( int n ,
 *            const number W[][],
 * index p[][],
 * number&minlength
* )
* {
* Index i, j, k;
* number D[1..n][subset of V-{vi}];
* for (i= 2 ; i<=n;i++)
* D[i][∅} = w[i][1];
* for(k=1; k<=n-2 ; k++)
* for (all subsets A v-{v1} containing k vertices
* for (i such that j≠1 and vi is not in A){
* D[i][A] = minimum (W[i][j]+ D[vj][A-{vj}]);
* P[i][A]= value of j that gave the minimum
* }
* D[1][v-{vi}]= minimum (W[1][j]+ D[vj][V-{v1}];
* P[1][V-{v1}]= value of j that gave the minimum ;
* Minlength = D[1][V-{v1}];
* }

الگوریتم جستجوی ممنوعه یا Tabu Search یا به اختصار TS، یکی از قوی‌ترین الگوریتم‌ها در زمینه حل مسائل بهینه‌سازی، به خصوص مسائل بهینه‌سازی مبتنی بر گراف و مسائل بهینه‌سازی ترکیباتی (Combinatorial Optimization) است. این الگوریتم در اواخر دهه ۱۹۸۰ و توسط گلووِر (Glover) و همکارانش ارائه گردید. غالباً یکی از مسائلی که برای حل آن‌ها از الگوریتم TS استفاده می‌شود، مسئله فروشنده دوره‌گرد یا TSP است. این الگوریتم پاسخ‌های بسیار مناسبی را برای انواع مسائل گسسته به خصوص مسئله TSP ارائه می‌کند!

جستارهای وابسته

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Travelling salesman problem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ ژوئیه ۲۰۰۸.

Schrijver, Alexander. "On the history of combinatorial optimization (till 1960)," Handbook of Discrete Optimization (K. Aardal, G.L. Nemhauser, R. Weismantel, eds.), Elsevier, Amsterdam, 2005, pp. 1–68. PS, PDF
S. Arora (1998). "Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman and other Geometric Problems". Journal of ACM, ۴۵ (۱۹۹۸), pp. ۷۵۳–۷۸۲.

[منابع برای مطالعه بیشتر]

P. Berman (2006). Marek Karpinski, "۸/۷-Approximation Algorithm for (۱٬۲)-TSP", Proc. 17th ACM-SIAM SODA (2006), pp. ۶۴۱–۶۴۸.
David S. Johnson
Christine L. Valenzuela and Antonia J. Jones

پیوند به بیرون

Gerhard Reinelt TSPLIB Databases
Traveling Salesman Problem at Georgia Institute of Technology
Solution of the Traveling Salesman Problem using a Kohonen Map
Kohonen Neural Network applied to the Traveling Salesman Problem (using three dimensions).