فهرست اتحادهای مثلثاتی

این نوشتار شامل فهرستی از فهرست اتحادهای مثلثاتی است.

مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایرهٔ واحد.

قضیه فیثاغورث

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

تبدیل زاویه

جمع و تفاضل دو زاویه

کسینوس

$\cos(\theta +\beta )=\cos \theta .\cos \beta -\sin \theta .\sin \beta \,$

$\cos(\theta -\beta )=\cos \theta .\cos \beta +\sin \theta .\sin \beta \,$

سینوس

$\sin(\theta +\beta )=\sin \theta .\cos \beta +\cos \theta .\sin \beta \,$

$\sin(\theta -\beta )=\sin \theta .\cos \beta -\cos \theta .\sin \beta \,$

تانژانت

$\tan(\theta +\beta )={\frac {\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \theta .\tan \beta }}\,$

$\tan(\theta -\beta )={\frac {\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta .\tan \beta }}\,$

کتانژانت

$\cot(\theta +\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta -1}{\cot \theta +\cot \beta }}\,$

$\cot(\theta -\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \theta }}\,$

زاویه دو برابر

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$

$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}$

$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}$

زاویه سه برابر

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta$

$\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$

$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$

نصف کمان

$\cos ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1+\cos 2\phi )$

$\sin ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1-\cos 2\phi )$

$\tan {\frac {\phi }{2}}\ ={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}\$

تبدیل ضرب به جمع

$\sin a.\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}$

$\cos a.\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}$

$\sin a.\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

تبدیل جمع به ضرب

$\sin a\pm \sin b=2\sin({\frac {a\pm b}{2}}).\cos({\frac {a\mp b}{2}}\,)$

$\cos a+\cos b=2\cos({\frac {a+b}{2}}).\cos({\frac {a-b}{2}}\,)$

$\cos a-\cos b=-2\sin({\frac {a+b}{2}}).\sin({\frac {a-b}{2}}\,)$

$\tan a\pm \ tanb={\frac {\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}}$

جمع سینوس و کسینوس یک زاویه مهندسی

$\displaystyle \sin \theta \pm \cos \theta ={\sqrt {2}}sin(\theta \pm {\frac {\pi }{4}})$

تانژانت

${\frac {1\pm \tan x}{1\mp \tan x}}=\tan(\pi /4\pm x)$

$\tan(\pi /2-x)=\cot(x)$

منابع

آرتور کاکسفورد. اصول و کاربردهای مثلثات. ترجمهٔ عادل ارشقی. انتشارات رسا.

بهمن اصلاح پذیر. حسابان. شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران.

احمد فیروزنیا. مثلثات. سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی.