حد (نظریه رسته‌ها)

در نظریه رسته‌ها که شاخه ای از ریاضیات است، مفهوم مجرد حد (به انگلیسی: Limit) خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، عقب‌برها و حد معکوس را در خود جمع می کند. مفهوم دوگان آن یعنی هم‌حد سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، برون‌برها و حد مستقیم را تعمیم می دهد.

همچون مفاهیم خواص جهانی و تابعگون‌های الحاقی که قویاً به هم مرتبطند، حد و هم‌حد نیز در مراتب بالای تجرید وجود دارند. به منظور فهمشان ابتدا باید مثال هایی که این مفاهیم سعی بر تعمیمشان دارند را مطالعه کرد.

تعریف

حدها و هم‌حدها در رسته ای چون $C$ به کمک نمودارها در $C$ تعریف می شوند. به طور صوری، یک نمودار به شکل $J$ در $C$ تابعگونی از $J$ به $C$ است:

$F\colon J\rightarrow C$

رسته $J$ را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار $F$ را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در $C$ دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس $J$ می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن $J$ رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را کوچک یا متناهی گوییم هرگاه $J$ به ترتیب کوچک یا متناهی باشد.

حد

فرض کنید $F\colon J\rightarrow C$ یک نمودار به شکل $J$ در رسته ای چون $C$ باشد. یک مخروط به $F$ شیئی چون $N$ از $C$ است به همراه خانواده $\psi _{X}\colon N\rightarrow F(X)$ از ریخت‌ها که توسط اشیاء $X$ از $J$ اندیس شده باشند، چنان که برای هر ریخت $f\colon X\rightarrow Y$ در $J$ داشته باشیم $F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}$.

یک حد برای نمودار $F\colon J\rightarrow C$ مخروطی چون $(L,\phi )$ به $F$ است چنان که برای هر مخروط $(N,\psi )$ به $F$ وجود داشته باشد ریخت یکتایی چون $u\colon N\rightarrow L$ چنان که برای تمام $X$ در $J$ داشته باشیم $\phi _{X}\circ u=\psi _{X}$:

یادداشت‌ها

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit (Category Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ سپتامبر ۲۰۱۹.

منابع

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Archived from the original (PDF) on 21 April 2015. Retrieved 8 اكتبر 2019. {{cite book}}: Check date values in: |access-date= (help)
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Borceux, Francis (1994). "Limits". Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Vol. Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)