همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند

همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از استقرای ریاضی تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ nتایی از اسب‌ها یک‌رنگ هستند. صورت قضیه را می‌توان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت n، هر مجموعهٔ nتایی از اسب‌ها همواره یک‌رنگ هستند.»

این مسئله را جورج پولیا طراحی کرده است.

برهان

گام اول

برای n=1 درستی بدیهی است زیرا در هر مجموعهٔ یک‌اسبی همهٔ اسب‌ها با یکدیگر هم‌رنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).

گام دوم

فرض می‌کنیم در هر مجموعهٔ nتایی از اسب‌ها همهٔ اسب‌ها یک‌رنگ هستند. حال یک مجموعهٔ n+1تایی از اسب‌ها را در نظر می‌گیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا می‌کنیم، مجموعهٔ n اسب باقی‌مانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمی‌گردانیم و اسب دیگری را جدا می‌کنیم و باز هم مجموعهٔ nتایی باقی‌مانده هم‌رنگ خواهند بود. نتیجه می‌گیرم که همهٔ اسب‌های مجموعهٔ n+1تایی نیز یک‌رنگ هستند. به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ nتایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند پس با توجه به ترایا بودن رابطهٔ همرنگی می‌توان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسب‌ها یک‌رنگ هستند.

اشتباه

یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال به‌کاررفته برای هر مجموعهٔ n+۱ عضوی صادق است مگر حالت n=۱، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یک‌اسبی هم‌رنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان می‌دهد که در استقرای ریاضی اثبات‌پذیر بودن گذارهٔ n+۱ به ازای همهٔ nهای بزرگتر-مساوی فرض اولیه دارای اهمیت است.

جستارهای وابسته

• پارادوکس
• فهرست پارادوکس‌ها

منابع

• Bauldry, William C. (2011). Introduction to Real Analysis: An Educational Approach (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.
• Bóna, Miklós (2006). A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory (به انگلیسی). World Scientific. Retrieved 2013-04-21.
• Shick, Paul L. (2011). Topology: Point-Set and Geometric (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.