از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایرهٔ واحد .
قضیه فیثاغورث
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }
تبدیل زاویه
جمع و تفاضل دو زاویه
کسینوس
cos
(
θ
+
β
)
=
cos
θ
.
cos
β
−
sin
θ
.
sin
β
{\displaystyle \cos(\theta +\beta )=\cos \theta .\cos \beta -\sin \theta .\sin \beta \,}
cos
(
θ
−
β
)
=
cos
θ
.
cos
β
+
sin
θ
.
sin
β
{\displaystyle \cos(\theta -\beta )=\cos \theta .\cos \beta +\sin \theta .\sin \beta \,}
سینوس
sin
(
θ
+
β
)
=
sin
θ
.
cos
β
+
cos
θ
.
sin
β
{\displaystyle \sin(\theta +\beta )=\sin \theta .\cos \beta +\cos \theta .\sin \beta \,}
sin
(
θ
−
β
)
=
sin
θ
.
cos
β
−
cos
θ
.
sin
β
{\displaystyle \sin(\theta -\beta )=\sin \theta .\cos \beta -\cos \theta .\sin \beta \,}
تانژانت
tan
(
θ
+
β
)
=
tan
θ
+
tan
β
1
−
tan
θ
.
tan
β
{\displaystyle \tan(\theta +\beta )={\frac {\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \theta .\tan \beta }}\,}
tan
(
θ
−
β
)
=
tan
θ
−
tan
β
1
+
tan
θ
.
tan
β
{\displaystyle \tan(\theta -\beta )={\frac {\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta .\tan \beta }}\,}
کتانژانت
cot
(
θ
+
β
)
=
cot
θ
.
cot
β
−
1
cot
θ
+
cot
β
{\displaystyle \cot(\theta +\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta -1}{\cot \theta +\cot \beta }}\,}
cot
(
θ
−
β
)
=
cot
θ
.
cot
β
+
1
cot
β
−
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta -\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \theta }}\,}
زاویه دو برابر
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
cos
(
2
θ
)
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
tan
(
2
θ
)
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
cot
(
2
θ
)
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}
sec
(
2
θ
)
=
sec
2
θ
2
−
sec
2
θ
{\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}
csc
(
2
θ
)
=
sec
θ
csc
θ
2
{\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}
زاویه سه برابر
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
{\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }
cos
3
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }
tan
3
θ
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
{\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}
نصف کمان
cos
2
ϕ
=
1
2
(
1
+
cos
2
ϕ
)
{\displaystyle \cos ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1+\cos 2\phi )}
sin
2
ϕ
=
1
2
(
1
−
cos
2
ϕ
)
{\displaystyle \sin ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1-\cos 2\phi )}
tan
ϕ
2
=
sin
ϕ
1
+
cos
ϕ
{\displaystyle \tan {\frac {\phi }{2}}\ ={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}\ }
تبدیل ضرب به جمع
sin
a
.
cos
b
=
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \sin a.\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}
cos
a
.
cos
b
=
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \cos a.\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}
sin
a
.
sin
b
=
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle \sin a.\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}
تبدیل جمع به ضرب
sin
a
±
sin
b
=
2
sin
(
a
±
b
2
)
.
cos
(
a
∓
b
2
)
{\displaystyle \sin a\pm \sin b=2\sin({\frac {a\pm b}{2}}).\cos({\frac {a\mp b}{2}}\,)}
cos
a
+
cos
b
=
2
cos
(
a
+
b
2
)
.
cos
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos({\frac {a+b}{2}}).\cos({\frac {a-b}{2}}\,)}
cos
a
−
cos
b
=
−
2
sin
(
a
+
b
2
)
.
sin
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a-\cos b=-2\sin({\frac {a+b}{2}}).\sin({\frac {a-b}{2}}\,)}
tan
a
±
t
a
n
b
=
sin
(
a
±
b
)
cos
a
cos
b
{\displaystyle \tan a\pm \ tanb={\frac {\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}}}
جمع سینوس و کسینوس یک زاویه
sin
θ
±
cos
θ
=
2
s
i
n
(
θ
±
π
4
)
{\displaystyle \displaystyle \sin \theta \pm \cos \theta ={\sqrt {2}}sin(\theta \pm {\frac {\pi }{4}})}
منابع
آرتور کاکسفورد. اصول و کاربردهای مثلثات . ترجمهٔ عادل ارشقی. انتشارات رسا.
بهمن اصلاح پذیر. حسابان . شرکت چاپ و نشر کتابهای درسی ایران.
احمد فیروزنیا. مثلثات . سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی.