حد (نظریه رسته‌ها)

در نظریه رسته‌ها که شاخه ای از ریاضیات است، مفهوم مجرد حد (به انگلیسی: Limit) خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، عقب‌برها و حد معکوس را در خود جمع می کند. مفهوم دوگان آن یعنی هم‌حد سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، برون‌برها و حد مستقیم را تعمیم می دهد.

همچون مفاهیم خواص جهانی و تابعگون‌های الحاقی که قویاً به هم مرتبطند، حد و هم‌حد نیز در مراتب بالای تجرید وجود دارند. به منظور فهمشان ابتدا باید مثال هایی که این مفاهیم سعی بر تعمیمشان دارند را مطالعه کرد.

تعریف

حدها و هم‌حدها در رسته ای چون $C$ به کمک نمودارها در $C$ تعریف می شوند. به طور صوری، یک نمودار به شکل $J$ در $C$ تابعگونی از $J$ به $C$ است:

$F\colon J\rightarrow C$

رسته $J$ را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار $F$ را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در $C$ دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس $J$ می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن $J$ رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را کوچک یا متناهی گوییم هرگاه $J$ به ترتیب کوچک یا متناهی باشد.

حد

فرض کنید $F\colon J\rightarrow C$ یک نمودار به شکل $J$ در رسته ای چون $C$ باشد. یک مخروط به $F$ شیئی چون $N$ از $C$ است به همراه خانواده $\psi _{X}\colon N\rightarrow F(X)$ از ریخت‌ها که توسط اشیاء $X$ از $J$ اندیس شده باشند، چنان که برای هر ریخت $f\colon X\rightarrow Y$ در $J$ داشته باشیم $F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}$ .

یک حد برای نمودار $F\colon J\rightarrow C$ مخروطی چون $(L,\phi )$ به $F$ است چنان که برای هر مخروط $(N,\psi )$ به $F$ وجود داشته باشد ریخت یکتایی چون $u\colon N\rightarrow L$ چنان که برای تمام $X$ در $J$ داشته باشیم $\phi _{X}\circ u=\psi _{X}$ :