همه اسبها یکرنگ هستند
همه اسبها یکرنگ هستند یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از استقرای ریاضی تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ nتایی از اسبها یکرنگ هستند.[۱] صورت قضیه را میتوان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت n، هر مجموعهٔ nتایی از اسبها همواره یکرنگ هستند.»[۲]
این مسئله را جورج پولیا طراحی کرده است.[۳]
برهان
- گام اول
- برای n=1 درستی بدیهی است زیرا در هر مجموعهٔ یکاسبی همهٔ اسبها با یکدیگر همرنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).
- گام دوم
- فرض میکنیم در هر مجموعهٔ nتایی از اسبها همهٔ اسبها یکرنگ هستند. حال یک مجموعهٔ n+1تایی از اسبها را در نظر میگیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا میکنیم، مجموعهٔ n اسب باقیمانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمیگردانیم و اسب دیگری را جدا میکنیم و باز هم مجموعهٔ nتایی باقیمانده همرنگ خواهند بود. نتیجه میگیرم که همهٔ اسبهای مجموعهٔ n+1تایی نیز یکرنگ هستند.[۴] به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ nتایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند پس با توجه به ترایا بودن رابطهٔ همرنگی میتوان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسبها یکرنگ هستند.[۵]
اشتباه
یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال بهکاررفته برای هر مجموعهٔ n+۱ عضوی صادق است مگر حالت n=۱، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یکاسبی همرنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان میدهد که در استقرای ریاضی اثباتپذیر بودن گذارهٔ n+۱ به ازای همهٔ nهای بزرگتر-مساوی فرض اولیه دارای اهمیت است.[۶]
جستارهای وابسته
منابع
- ↑ Shick, Topology: Point-Set and Geometric, 31.
- ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 23.
- ↑ Bauldry, Introduction to Real Analysis: An Educational Approach, 243.
- ↑ Shick, Topology: Point-Set and Geometric, 31.
- ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 24.
- ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 24.
- Bauldry, William C. (2011). Introduction to Real Analysis: An Educational Approach (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.
- Bóna, Miklós (2006). A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory (به انگلیسی). World Scientific. Retrieved 2013-04-21.
- Shick, Paul L. (2011). Topology: Point-Set and Geometric (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.