گراف نسر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
گراف نسر
Kneser graph KG(5,2).svg
Named after Martin Kneser
Vertices \textstyle\binom{n}{k}
Edges \textstyle\binom{n}{k} \binom{n - k}{k} / 2
Chromatic number \left\{\begin{array}{ll}n - 2 k + 2 & n \ge 2 k\\ 1 & \text{otherwise}\end{array}\right.
Properties گراف منتظم
arc-transitive
Notation KGn,k, K(n,k)

در نظریه گراف گراف نسر (به انگلیسی: Kneser graphKG_{n,k}، گرافی است که رأس‌های آن نظیر زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه ی n عضوی است. بین دو رأس یک یال وجود دارد اگر و تنها اگر زیرمجموعه‌های نظیر رأس‌ها ناسازگار باشند (اشتراکشان تهی باشد). این گراف‌ها به نام مارتین نسرر نامگذاری شده‌اند که برای اولین بار آنها را در سال ۱۹۵۵ بررسی کرد.

مثال‌ها[ویرایش]

  • گراف کامل n رأسی گراف نسر KG_{n,1} است.
  • گراف KG_{5,2} با گراف پترسن ایزومورف است.

خصوصیات[ویرایش]

  • در گراف نسر هر رأس با انتخاب k از n-k رأس دیگر مجاور است.
  • همانگونه که نسر حدس زد عدد رنگی گراف KG_{n,k} دقیقاً برابر n-2k+۲ است. لوواش در سال ۱۹۷۸ و جاشوآ در سال ۲۰۰۲ برای این فرمول اثبات‌هایی توپولوژیکی ارائه دادند. در سال ۲۰۰۴ ماتوشک اثباتی کاملاً ترکیبیاتی برای آن پیدا کرد.
  • وقتی n بزرگتر مساوی ۳k باشد گراف نسر همیشه دور هامیلتونی خواهد داشت (چن ۲۰۰۰). محاسبات نشان داده‌اند که همهٔ گراف‌های همبند کنزر با nهای کوچکتر مساوی ۲۷ به جز گراف پترسن، همیلتونی هستند.
  • اگر n کوچکتر از ۳k باشد گراف نسر هیچ مثلثی نخواهد داشت.

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]