نظریه پریشیدگی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از نظریه اختلال)
پرش به: ناوبری، جستجو

در مکانیک کوانتمی، نظریهٔ پریشیدگی، مجموعه‌ای از طرح‌های تقریبی است که مستقیماً مربوط به پریشیدگی وابسته به ریاضی است که برای توصیف یک مجموعهٔ کوانتمی پیچیده بر حسب یک مجموعهٔ ساده‌تر بکار می‌رود. ایدهٔ ما این است که با یک سیستم ساده شروع نمائیم که در آن یک روش ریاضی شناخته شده است و افزودن هامیلتون، آشفته، نشان دهندهٔ پریشیدگی ضعیف در سیستم خواهد بود. اگر پریشیدگی زیاد نباشد، کمیت‌های مختلف فیزیکی توأم با سیستم آشفته (برای مثال سطح انرژی و حالت انرژی)، طبق الزامات پیوستگی، بصورت اصطلاحات سیستم ساده تعریف می‌شوند. این اصطلاحات، اگرچه در مقایسه با مقدار کمیت‌ها کوچک هستند، می‌توانند با استفاده از روش‌های تقربی مانند مجموعه‌های مجانب محاسبه شوند؛ بنابراین سیستم پیچیده را می‌توان بر مبنای دانش سیستم ساده‌تر مورد مطالعه قرار داد.[۱]

کاربردهای نظریهٔ پریشیدگی[ویرایش]

نظریهٔ پریشیدگی ابزار مناسبی برای توصیف سیستم‌های کوانتومی است، زیرا یافتن روش دقیقی در معادلات شرودینگر در هامیلتون‌هایی با پیچیدگی متوسط دشوار است. حرکت‌های هامیلتونی که ما برای آن‌ها روش دقیقی داریم مانند اتم هیدروژن، نوسانگر هماهنگ کوانتوم و ذرات داخل جعبه، برای توصیف اغلب سیستم‌ها بسیار ایده‌آل هستند. با استفاده از نظریهٔ پریشیدگی، ما می‌توانیم از روش‌های شناخته شده‌ای از این هامیلتون ساده برای ارائهٔ روش‌هایی برای دامنه‌ای از سیستم‌های پیچیده استفاده نمائیم. برای مثال، با افزودن پتانسیل الکتریکی پریشیدگیی به مدل مکانیکی کوانتوم اتم هیدروژن، می‌توانیم تغییرات کوچک موجود در خطوط طیفی هیدروژن را که حاصل از وجود میدان الکتریکی (اثر استارک) است محاسبه نمائیم. این محاسبه تقریبی است، زیرا جمع پتانسیل کولن با پتانسیل خطی غیر ثابت می‌باشد، اگر زمان تونل‌زنی بسیار طولانی است. این امر بصورت بسط انرژی خطوط طیفی نشان داده شده است، چیزی که نظریهٔ پریشیدگی نتوانست بطور کامل آنرا عملی نماید. مقادیر بدست آمده حاصل از نظریهٔ پریشیدگی دقیق نمی‌باشند، ولی نتایج دقیقی را مانند پارامترهای بسط دهنده در اختیارمان قرار می‌دهند.

در تئوری الکترودینامیک کوانتوم که در آن تعامل فوتون الکترون بصورت آشفته می‌باشد، محاسبهٔ گشتاور مغناطیسی الکترون با ۱۱ اعشار سازگار خواهد بود. تحت برخی از شرایط، تئوری پریشیدگی رویکرد نامعتبری محسوب می‌گردد. این امر زمانی بروز می‌نماید که ما نتوانیم سیستم را با پریشیدگی تحمیلی اندک در سیستم‌های ساده توصیف نمائیم. برای مثال در دینامیک رنگی کوانتوم‌ها، تعامل کولاک با گلون در سطوح کم‌انرژی آشفتگی ایجاد نمی‌نماید، زیرا ثابت‌های جفت (پارامترهای توسعه‌ای) بسیار بزرگ می‌شوند. تئوری پریشیدگی هم‌چنین نمی‌تواند حالاتی را که بصورت آدیاباتیک از «مدل آزاد» بوجود آمده‌اند را توصیف نماید، مانند حالات مرزی و پدیده‌های جمعی مختلف مانند سولتون. برای مثال، تصور نمائید که ما دارای سیستمی با ذرات آزاد هستیم که در آن یک تعامل جالبی وجود دارد. بسته به نوع تعامل این امر ممکن است موجب ایجاد مجموعه پدیدی از حالات انرژی مرتبط با گروهی از ذرات گردد که به یکدیگر متصل هستند. یک نمونه از این پدیده در فوق هدایت قراردادی مشاهده شده است که در آن جاذبهٔ فونون بین الکترون‌های رسانا موجب تشکیل جفت‌های الکترونی هسته می‌شود که جفت‌های کوپر نامیده می‌شوند. حین مواجهه با چنین سیستم‌هایی اغلب یکی به نمای تقریبی دیگری تبدیل می‌شوند مانند متدهای تغییر و تقریب WKB. این امر بدین دلیل است که هیچگونه شباهتی از ذرات پیوسته در مدل آشفته و انرژی سولیتون وجود ندارد که عکس پارامترهای انبساطی می‌باشد. به هر حال اگر ما پدیدهٔ سولیتون را یکپارچه نمائیم، اصطلاحات غیر مختل در این جا بسیار اندک خواهد بود. نظریهٔ پریشیدگی تنها می‌تواند محصول‌هایی را مورد بررسی قرار دهد که رابطهٔ نزدیکی با محصول‌های غیرآشفته دارند، حتی اگر محصول‌های دیگری نیز وجود داشته باشد (که بعنوان پارامتر انبساطی است که به سمت صفر سوق می‌یابد). مسئلهٔ سیستم‌های غیرآشفته تا حدودی با کامپیوترهای مدرن حل شد. بدست آوردن چندین روش غیر پریشیدگیی عددی در برخی مسائل خاص عملی گردید که در آن‌ها از متدهایی مانند نظریهٔ کاربردی چگالی استفاده می‌نمودند. این پیشرفت‌ها در زمینهٔ شیمی کوانتوم بسیار مؤثر بوده است. از کامپیوترها هم‌چنین برای محاسبات نظریهٔ پریشیدگی استفاده فراوانی شده است که در فیزیک ذرات اهمیت فراوانی دارد و با استفاده از آن‌ها می‌توان نتایج تئوریکی را تولید نمود که قابل قیاس با آزمایش‌های می‌باشد.

نظریهٔ پریشیدگی مستقل از زمان[ویرایش]

این نظریه یکی از مقوله‌های نظریهٔ پریشیدگی است و مقولهٔ دیگر آن وابسته به زمان می‌باشد. در نظریهٔ مستقل از زمان هامیلتون پریشیدگیی ایستا می‌باشد (یعنی هیچگونه وابستگی زمانی ندارد). نظریهٔ وابسته به زمان در مقاله ۱۹۲۶ آروین شرودینگر ارائه گردید که اندکی پس از ارائهٔ نظریات او در مکانیک امواج بود. در این وقاله شرودینگر به آثار اولیهٔ لرد رایلی اشاره نمود که در ارتعاشات هارمونیک لایه‌های آشفته شده بواسطهٔ ناهماهنگی اندک را بررسی نموده بود. به همین دلیل است که نظریهٔ پریشیدگی رایلی- شرودینگر نیز نامیده می‌شود.

اصطلاحات مرتبه اول[ویرایش]

ما با هامیلتون غیر آشفتهٔ آغاز می‌نمائیم که مفروض است هیچ‌گونه وابستگی زمانی ندارد. دارای سطوح و حالات انرژی شناخته شده است که حاصل از معادلهٔ مستقل از زمان شرودینگر می‌باشد:

به منظور وضوح بیشتر فرض می‌نمائیم که انرژی‌ها گسسته می‌باشند. بالاوند (۰) نشان می‌دهد که این کیمت‌ها همراه با سیستم آشفته می‌باشند. به استفاده براکت توجه نمائید. حال ما یک پریشیدگی در هامیلتون ایجاد می‌نمائیم. فرض می‌کنیم V هامیلتونی باشد که نشان دهندهٔ پریشیدگی فیزیکی ضعیف است، مانند انرژی پتانسیل ایجاد شده توسط میدان خارجی (بنابراین V یک عامل هرمیتی است). هامیلتون آشفته به این صورت می‌باشد:

سطوح انرژی و حالات انرژی هامیلتون آشفته با معادلهٔ شرودینگر ارائه شده است:

هدف ما بیان و بر حسب سطوح و حالات انرژی هامیلتون پیشین می‌باشد. اگر آشفتگی ضعیف باشد، می‌توان آنها را بصورت زنجیره‌های نیرو و بدین صورت نوشت:

زمانیکه λ = ۰ باشد، این مقدار غیرآشفته کاهش می‌یابد که اولین مقدار در هر مجموعه تلقی می‌شوند. از آنجا که آشفتگی ضعیف می‌باشد، سطوح و حالات انرژی از مقادیر غیرآشفته‌شان منحرف شوند و با سوق به سمت مراتب بالاتر این مقادیر کوچکتر می‌شوند. با اتصال مجموعه‌های نیرو به معادلهٔ شرودینگر، خواهیم داشت:

بسط این معادله و مقایسهٔ ضرایب هر یک از توان‌های λ موجب بدست آمدن مجموعه‌های نامحدود از معادلات همزمان می‌گردد. معادلهٔ مرتبهٔ صفر معادلهٔ شرودینگر در سیستم آشفاه می‌باشد. معادلهٔ مرتبه اول بدین صورت می‌باشد:

اولین عبارت در سمت چپ با عبارت موجود در سمت راست حذف می‌شود. (به یاد داشته باشید که هامیلتون غیرآشفته هرمیتی می‌باشد). این امر منجر به تغییر انرژی مرتبه اول می‌گردد:

این امر پیش‌بینی مقدار هامیلتون پریشیدگیی است که سیستم در حالت غیرآشفته می‌باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

[۲]
  1. Cropper, William H. (2004), Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking, Oxford University Press, p. 34, ISBN 978-0-19-517324-6 .
  2. *Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). Modern quantum mechanics (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5
  • امیر آقامحمدی. اختلال. . گاما، ش. ۴ (پاییز ۱۳۸۳): صفحهٔ ۳۹.