منحنی براکیستکرون
در فیزیک و ریاضیات، منحنی براکیستوکرون (از یونانی باستان βράχιστος χρόνος «کوتاه‌ترین زمان») منحنی است که بین نقطه A و نقطه پایینتر B قرار دارد(جایی که B مستقیماً زیر A نیست) که در آن جسم بدون اصطکاک تنها تحت تأثیر یک میدان گرانشی یکنواخت در کوتاه ترین زمان ممکن به مقصد میرسد. این مسئله توسط یوهان برنولی در سال 1696 مطرح شد.این مسئله را می توان با استفاده از حساب تغییرات و کنترل بهینه حل نمود.
تاریخ[ویرایش]
پیش از این، در سال 1638،گالیلئو گالیله تلاش کرده بود تا مسئله مشابهی را برای مسیر سریعترین فرود از یک نقطه روی دیوار تا کتاب دو علم جدید خود حل کند. او به این نتیجه می رسد که کمان دایره از هر تعداد وتر آن سریعتر است.
یوهان برنولی با استفاده از روش مشابه در نظر گرفتن مسیر نوری که توسط لایه‌های شفاف با چگالی متفاوت شکسته می‌شود، مشکل را حل کرد (Mach 1893, Gardner 1984, Courant and Robbins 1996). در واقع، یوهان برنولی در ابتدا دلیلی نادرست از سیکلوئید بودن منحنی پیدا کرده بود و برادرش یاکوب را برای یافتن منحنی مورد نیاز به چالش کشید. هنگامی که یاکوب به درستی این کار را انجام داد، یوهان تلاش کرد تا اثبات را جایگزین اثبات خود کند(Boyer and Merzbach 1991, p. 417).
راه حل یاکوب برنولی[ویرایش]
برادر یوهان یاکوب نشان داد که چگونه می توان از دیفرانسیل دوم برای بدست آوردن شرایط برای کمترین زمان استفاده کرد. یک نسخه مدرن از اثبات به شرح زیر است. اگر از مسیر کمترین زمان انحراف ناچیزی داشته باشیم، برای مثلث دیفرانسیل تشکیل شده از جابجایی در طول مسیر و جابجایی های افقی و عمودیː
با مشتق گیری عبارات(با توجّه به y ثابت) خواهیم داشتː
و در نهایت با تنظیم عبارات به رابطه زیر میرسیمː
که در آن قسمت آخر جابجایی برای تغییر داده شده در زمان برای دیفرانسیل دوم است. حال تغییرات دو مسیر همسایه را در شکل زیر در نظر بگیرید که برای آنها فاصله افقی بین مسیرها در امتداد خط مرکزی d2x است (برای هر دو مثلث دیفرانسیل بالا و پایین یکسان است). در امتداد مسیرهای قدیم و جدید، قسمت هایی که با هم تفاوت دارند، هستندː
برای مسیر کمترین زمان‌ها این زمان‌ها با هم برابرند، بنابراین به تفاضل آنها میرسیمː
و شرط کمترین زمان بدین گونه بدست می آیدː
که با فرض یوهان بر اساس قانون شکست موافق است.