معادله ریکاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در مبحث ریاضیات. معادله ریکاتی یک معادله دیفرانسیل سادهٔ مرتبه اول است. صورت عمومی معادله بصورت زیر است:

که اگر ترم اول در سمت راست معادله صفر شود تبدیل به معادله برنولی می‌شود.

تاریخچه و نحوه نامگذاری[ویرایش]

نام این معادله به افتخار جاکوبو ریکاتی، ریاضیدان ایتالیایی گذاشته شده است که مختصری از زندگی نامه این شخصیت بزرگوار و چگونگی نام گرفتن این معادله را شرح می‌دهیم. جاکوبو فرانچسکو ریکاتی در ۲۸ می ۱۶۷۶ در شهر ونیز ایتالیا به دنیا آمد. تحصیلات ابتدایی را در مدرسه جسوت در برشا گذراند. در سال ۱۶۹۳ وارد دانشگاه پادوآ شد و در سال ۱۶۹۶ موفق به اخذ مدرک دکترا در رشتهٔ حقوق شد. با تشویق از سوی استفانو آنجلی برای دنبال کردن ریاضیات، ریکاتی شروع به تحصیل در رشته آنالیز ریاضی کرد. بعد از آن او پیشنهادهای زیادی دریافت کرد؛ ولی او همهٔ پیشنهادات را رد کرده و زندگی خود را وقف آنالیز ریاضی کرد. پیوتر اول، امپراتور وقت روسیه از او دعوت کرد تا به عنوان رئیس دانشکده علوم سن پطرزبورگ ادامه فعالیت دهد. او همچنان به عنوان مشاور امپراتوری در وین دعوت شد. با این وجود او همهٔ این پیشنهادات را رد کرد. بعضی از کارهای او در مبحث چندجمله‌ای‌ها، با همکاری ماریا آنیسی و به درخواست او در یک کتاب جمع‌آوری شد. بعداز آن این معادله به این نام نامگذاری شد.

روش ساده کردن معادله و تبدیل به معادله مرتبه دوم ساده[ویرایش]

از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم بنابراین:

S و R را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

و

با جای گذاری داریم:

وصورت ساده شده معادله یه صورت زیر خواهد بود:

یافتن جواب عمومی معادله با دانستن یک جواب[ویرایش]

برای یافتن جواب عمومی معادله ابتدا یک جواب معادله را پیدا می‌کنیم.

با جایگذاری در معادله داریم:

و باتوجه به اینکه:

یا:

که این معادله تبدیل به معادله برنولی می‌شود. از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم. پس داریم:

که Z یک جواب عمومی برای معادله است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مقاصدی-طباطبایی-دوستی. «دوم». در مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل. چاپ اول. روشنگران امروز، ۱۳۸۶. ۴۱. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۹۰۷۴۵-۹-۷.