قضیه وینر-خینشین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در پردازش سیگنال، قضیه وینر-خینشین (که گاهی قضیه وینر-خینشین-اینشتین یا قضیه خینشین-کولموگروف خوانده می‌شود)، بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرایند ایستا در معنای وسیع دارای طیفی برابر با چگالی طیفی توان آن سیگنال است.[۱]

پیشینه[ویرایش]

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد[۲]، و الکساندر خینشین به طور مستقل [۳]در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود[۴].

برای فرایندهای پیوسته[ویرایش]

برای فرایندهای پیوسته [۵]این قضیه بیان می‌کند که اگر یک فرایند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی (که خودکواریانس نیز خوانده می‌شود) آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

وجود داشته و با ازای هر مقدار متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک نوای برای بسامدهای وجود دارد به طوری که:

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتجس است.

برای فرایندهای گسسته زمان[ویرایش]

برای فرایندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع برابر است با

که در آن

همان تابع گسسته خودبستگی - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن - است.

کاربردها[ویرایش]

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد. [۶]

جستارهای وابسته[ویرایش]

یادکردها[ویرایش]

  1. وینر، نوربرت. سری‌های زمانی. دانشگاه‌ام آی تی، ۱۹۶۴. 
  2. Wiener, Norbert (1930). "Generalized Harmonic Analysis". Acta Mathematica 55: 117–258. 
  3. Nahin, Paul J. (2011). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. pp. 225. ISBN 9780691150376 (help). 
  4. Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. (1997). The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. p. 95. ISBN 0-8218-0415-4 (help). 
  5. C. Chatfield (1989). The Analysis of Time Series—An Introduction (fourth ed.). Chapman and Hall, London. pp. 94–95. ISBN 0-412-31820-2 (help). 
  6. Shlomo Engelberg. Random signals and noise: a mathematical introduction. CRC Press، ۲۰۰۷.