قضیه ویلسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

قضیه ویلسون (به انگلیسی: Wilson's theorem) قضیهای در نظریه اعداد است که توسط ریاضیدان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند داریم

تعمیم قضیه ویلسون[ویرایش]

۱_تعمیم گاوس:کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

در اینجا عددی صحیح و مثبت است.

مثال[ویرایش]

اثبات[ویرایش]

برهان اول[ویرایش]

چون اول است، پس به ازای هر عدد که ،عدد منحصر به فرد وجود دارد که و در ضمن و . پس می‌توان اعداد را به زوج‌هایی افراز کرد که حاصلضرب دو عدد هر زوج(جفت) به پیمانه برابر با شود. پس

کاربرد ها[ویرایش]

تعیین اول بودن عدد[ویرایش]

در عمل این الگوریتم برای تعیین اول بودن عدد نا کار آمد است. زیرا محاسبه برای n های بزرگ پیچیدگی محاسباتی دارد و الگوریتم های سریع تری مثل آزمون تقسیم برای این کار وجود دارد.

با اعمال قضیه ویلسون بر تمام اعداد اول فرد p = 2m + 1 و مرتب کردن اعداد رابطه

به رابطه ی زیر می رسیم

و

در نتیجه

یا

و با استفاده از این رابطه ی آخری می توان ثابت کرد که (1-) برای هر عدد اول فیثاغورسی (به عبارتی اعداد اولی که p ≡ 1 (mod 4) باشند) باقی مانده درجه دو quadratic residue به پیمانه p است.(یعنی) فرض کنید p = 4k + 1 است m را برابر  2k می گیریم سپس با با توجه به رابطه ذکر شده نتیجه می گیریم که به پیمانه p همنهشت با 1- است.

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Wilson's theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.