فیلتر کسینوس بالابُرده ، فیلتری است که به‌سبب توانایی‌اش در کمینه کردن تداخل میان‌سمبلی ، اغلب برای شکل‌دهی پالس در مدولاسیون دیجیتال به کار می‌رود. نام آن از آن‌جا می‌آید که بخش ناصفر طیف فرکانس ساده‌ترین شکل آن (
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
توصیف ریاضی [ ویرایش ] پاسخ فرکانسی فیلتر کسینوس بالارفته، به‌ازای چند فاکتور roll-off. پاسخ ضربه فیلتر کسینوس بالارفته، به‌ازای چند فاکتور roll-off. فیلتر کسینوس بالابرده، در واقع پیاده‌سازی فیلتر پایین‌گذر نایکویست است، یعنی فیلتری که پاسخش، تقارن جالبی در نزدیکی
1
2
T
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}}
T
{\displaystyle T}
توصیف حوزهٔ فرکانس آن، یک تابع تِکّه‌ای‌تعریف‌شده است:
H
(
f
)
=
{
1
,
|
f
|
≤
1
−
β
2
T
1
2
[
1
+
cos
(
π
T
β
[
|
f
|
−
1
−
β
2
T
]
)
]
,
1
−
β
2
T
<
|
f
|
≤
1
+
β
2
T
0
,
otherwise
{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
یا:
H
(
f
)
=
{
1
,
|
f
|
≤
1
−
β
2
T
hvc
(
π
T
β
[
|
f
|
−
1
−
β
2
T
]
)
,
1
−
β
2
T
<
|
f
|
≤
1
+
β
2
T
0
,
otherwise
{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
برای
0
≤
β
≤
1
{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}
و با دو مقدار مشخص می‌شود.
β
{\displaystyle \beta }
ضریب رول- آف و
T
{\displaystyle T}
پاسخ ضربهٔ این فیلتر[۱]
h
(
t
)
=
{
π
4
T
sinc
(
1
2
β
)
,
t
=
±
T
2
β
1
T
sinc
(
t
T
)
cos
(
π
β
t
T
)
1
−
(
2
β
t
T
)
2
,
otherwise
{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
با در نظر گرفتن تابع سینک نرمال‌شده.
فاکتور رول آف [ ویرایش ] فاکتور رول آف ،
β
{\displaystyle \beta }
پهنای باند اضافهٔ فیلتر است، یعنی پهنای باند فراتر از پهنای باند نایکویست
1
2
T
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}}
[۲]
اگر پهنای باند اضافه را با
Δ
f
{\displaystyle \Delta f}
β
=
Δ
f
(
1
2
T
)
=
Δ
f
R
S
/
2
=
2
T
Δ
f
{\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}
که
R
S
=
1
T
{\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}
نمودار، پاسخ دامنه را وقتی
β
{\displaystyle \beta }
پاسخ ضربه را نشان می‌دهد. چنان‌که دیده می‌شود، با کاهش
β
{\displaystyle \beta }
وقتی
β
{\displaystyle \beta }
lim
β
→
0
H
(
f
)
=
rect
(
f
T
)
{\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}
که
rect
(
⋅
)
{\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}
تابع مستطیلی است، بنابراین پاسخ ضربه به
h
(
t
)
=
1
T
sinc
(
t
T
)
{\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}
وقتی
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
H
(
f
)
|
β
=
1
=
{
1
2
[
1
+
cos
(
π
f
T
)
]
,
|
f
|
≤
1
T
0
,
otherwise
{\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
یا
H
(
f
)
|
β
=
1
=
{
hvc
(
π
f
T
)
,
|
f
|
≤
1
T
0
,
otherwise
{\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
پهنای باند یک فیلتر کسینوس بالابرده، معمولاً عرض بخش ناصفر فرکانس‌مثبت طیف آن تعریف می‌شود، برای نمونه:
B
W
=
R
S
2
(
β
+
1
)
,
(
0
<
β
<
1
)
{\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}
پهنای باند رادیویی B سیگنال مدوله‌شده، دو برابر پهنای باند پایه BW است. برای نمونه:
B
=
2
B
W
=
R
S
(
β
+
1
)
,
(
0
<
β
<
1
)
{\displaystyle B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}
تابع خودهمبستگی [ ویرایش ] تابع خودهمبستگی تابع کسینوس بالابرده چنین است:
R
(
τ
)
=
T
[
sinc
(
τ
T
)
cos
(
β
π
τ
T
)
1
−
(
2
β
τ
T
)
2
−
β
4
sinc
(
β
τ
T
)
cos
(
π
τ
T
)
1
−
(
β
τ
T
)
2
]
{\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}
خودهمبستگی را می‌توان برای تجزیه‌وتحلیل نتایج نمونه‌برداری به‌کار برد.
قله‌های کسینوس بالابردۀ پشتِ‌هم، که ISI صفر را نشان می‌دهد. هنگامی‌که برای فیلترکردن یک رشته سمبل به کار برود، فیلتر نایکویست، ISI را از میان می‌برد، زیرا پاسخ ضربهٔ آن در همهٔ
n
T
{\displaystyle nT}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
{\displaystyle n}
بنابراین، اگر شکل موج فرستاده‌شده، در گیرنده به‌درستی نمونه‌برداری شود، سمبل فرستاده‌شده را می‌توان کامل بازیافت.
با این حال، در بسیاری از سیستم‌های مخابراتی، در اثر نویز سفید ، در گیرنده از یک فیلتر منطبق استفاده می‌شود. برای ISI صفر، پاسخ روی‌هم‌رفته فیلترهای فرستنده و گیرنده باید
H
(
f
)
{\displaystyle H(f)}
H
R
(
f
)
⋅
H
T
(
f
)
=
H
(
f
)
{\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}
و بنابراین:
|
H
R
(
f
)
|
=
|
H
T
(
f
)
|
=
|
H
(
f
)
|
{\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}
به این فیلترها، فیلتر جذر کسینوس بالابرده می‌گویند.
کسینوس بالابرده یک فیلتر پنجره (Apodization) برای توری براگ فیبری است.
گلاور، آی. گرانت، پی (۲۰۰۴). ارتباطات دیجیتال (ویرایش دوم). Pearson Education Ltd.شابک ۰-۱۳-۰۸۹۳۹۹-۴ .
پرواکیس، جی (۱۹۹۵). ارتباطات دیجیتال (ویرایش سوم). McGraw-Hill Inc.شابک ۰-۰۷-۱۱۳۸۱۴-۵ .
Tavares, LM; Tavares GN (1998) نظراتی در مورد "عملکرد سیستم‌های DS/SSMA با باند محدود ناهمزمان" . IEICE Trans. اشتراک. جلد. E81-B، شماره ۹ پیوند به بیرون [ ویرایش ] 
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e3ded19409961c1fa1eee73597487e00d5b41)
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f67f063a65a06e9a7f0b4ec1b988635196602b)
![{\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b3e72ab38fa1e3bc5141dfbccdaf85f93d8079)
![{\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1cfb0c92ae045d046703231965384bfb016649)
