مجموعه چگال
در توپولوژی و زمینه‌های مرتبط ریاضیات، یک زیر مجموعه A از فضای توپولوژیکی X چگال (در X) نامیده میشود اگر، به طور شهودی، هر نقطه در X بتواند به خوبی توسط نقاط A تقریب شود. به بیانی رسمی، A در X چگال است اگر برای هر نقطهٔ x از X، هر همسایگی از x شامل حداقل یک نقطه از A باشد. به طور معادل، A در X چگال است اگر تنها زیر مجموعهٔ بستهٔ X شامل A، خود X باشد. همچنین می‌توان این مطلب را اینگونه بیان کرد که X بستار A است یا اینکه دامنهی مکمل A تهی است. یک تعریف مشابه در فضای متریک اینست: مجموعهٔ A در فضای متریک X چگال است اگر هر x در X حد دنباله‌ای از اعضای A باشد. یک فضای توپولوژیک جدایی پذیر(separable ) نامیده میشود اگر یک زیر مجموعه شمارای چگال داشته باشد. مجموعه اعداد حقیقی دارای زیر مجموعه چگال شمارش پذیر که همان مجموعه اعداد گویا ست ، میباشد. اگر x یک فضای نرمدار جدایی پذیر باشد، هر زیر مجموعه از آن و هر زیر فضای آن جدایی پذیر است.
مثال‌ها[ویرایش]
- هر فضای توپولوژیکی در خودش چگال است.
- در اعداد حقیقی با توپولوژی معمول (متر معمول) مجموعه‌های اعداد گویا و اعداد گنگ ، زیرمجموعه‌های چگال آن هستند.
- فضای متریک M در تکمیل شدهٔ خودش چگال است.
فرض کنید X یک فضای توپولوژیک(topological space) باشد. در اینصورت مجموعه Y را در X چگال(dense) می‌گویند هرگاه Y زیر مجموعه‌ای از X بوده و Cl(Y)= X، یعنی مجموعه بستار Y با X برابر باشد. در اینحالت: اگر Y زیر مجموعه‌ای شمارا از X باشد آنگاه X را مجموعه‌ای جدایی پذیر (seperable) می‌نامند.