مدل توبیت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مدل توبیت یک مدل آماری برای داده های پنل می باشد که توسط James Tobin در سال ۱۹۵۸ برای توصیف رابطه ی بین یک متغیر وابسته غیر منفی مانند y_i و متغیرهای مستقل x_i ایجاد شده است.

در این مدل در نظر گرفته می شود که یک متغیر latent یا غیرقابل مشاهده مانند {y_i}^* در مدل وجود دارد که این متغیر به شکل خطی به متغیر x_i وابسته است.[۱]

بنابراین رابطه ی زیر را داریم:

y_{it}^*=\acute{x}_{it}\beta+{\alpha_i}+\epsilon_{it}

متغیر y_i برابر متغیر غیر قابل مشاهده خواهد بود هرجا که این متغیر بیشتر از صفر باشد و در غیر این صورت برابر صفر خواهد بود.یعنی داریم:

 y_{it}= y_{it}^* اگر y_{it}^*=0

 y_{it}= 0 اگر y_{it}^* \le 0
اگر در این مدل ضریب را مانند آن چه در رگرسیون معمولی تفسیر می کنیم (یعنی میزان تأثیر متغیر مستقل بر متغیر وابسته) در نظر بگیریم، دچار اشتباه شده ایم. در عوض باید آن را با ترکیب دو مفهوم زیر تفسیر کنیم:

  1. میزان تغییرات متغیر وابسته وقتی بیشتر از حد پایین است، با وزن احتمال بیشتر بودن از حد پایین
  2. احتمال بیشتر بودن از حد پایین با وزن مقدار مورد انتظار متغیر وابسته وقتی بیشتر از حد پایین است.

فرض های معمول مدل اثر متغیر یا random effect را بر این مدل اعمال می کنیم. یعنی در نظر می گیریم که \alpha_i,\epsilon_{it} توزیع مستقل نرمال دارند که مستقل از مقادیر x است و میانگین صفر و واریانس های به ترتیب برابر \sigma_\epsilon ^ 2 و \sigma_\alpha ^ 2 را دارند.

در صورتی که  \beta را در مدلی که y_i رویx_i رگرس شده است، از طریق روش حداقل مربعات معمول تخمین بزنیم، تخمین گر مربوطه نا سازگار خواهد بود. Takeshi Amemiya در سال ۱۹۷۳ نشان داد که تخمین گر حداکثر راست نمایی برای مدل توبی سازگار است.

در صورتی که f را تابع چگالی احتمال در نظر بگیریم، تابع راست نمایی می تواند به صورت رابطه زیر نوشته شود: f(y_{i1},...,y_{iT}|x_{i1},...,x_{iT})=\int_{-\infty}^{+\infty}\pi f(y_{it}|x_{it},\alpha_i,\beta)f(\alpha_i)d\alpha_i

به شکلی که  f(\alpha_i) از رابطه زیر حاصل می شود:

 f(\alpha_i)= \frac {1}{\sqrt{2\pi\sigma_\alpha^2}}exp \{- \frac{1}{2} \frac {\alpha_i^2}{\sigma_\alpha^2}\}

و f(y_{it}|x_{it},\alpha_i,\beta) از روابط زیر حاصل می شود. اگر y_{it}>0 برابر خواهد بود با:

 f(y_{it}|x_{it},\alpha_i,\beta)= \frac {1}{\sqrt{2\pi\sigma_\epsilon^2}}exp \{- \frac{1}{2} \frac {{(y_{it}-\acute{x}_{it}-\alpha_i)}^2}{\sigma_\epsilon^2}\}

و در صورتی که y_{it}=0 برابر خواهد بود با:

1-\Phi(\frac {\acute{x}_{it}\beta+\alpha_i}{\sigma_\epsilon})

این دو رابطه مشابه روابط راست نمایی مدل cross section می باشد. تنها تفاوت وجود \alpha_i در میانگین شرطی است.[۲]

منابع[ویرایش]

  1. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Tobit model»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.
  2. Verbeek M., A guide to modern econometrics, second edition, Ch. 10: Models Based,ISBN 0-470-85773-0