متریک کهلر-اینشتین

متریک‌ کِهلِر-اَینشتین (در هندسه دیفرانسیل)، متریکی کِهلِری روی یک خمینهٔ مختلطِ کِهلِری ست که به علاوه در معادلهٔ اینشتین صدق کند، به این معنی که انحنای ریچی ِ متریک با ضریبی از متریک مساوی باشد:

$\mathrm {Ric} =k\,g,$

در رابطهٔ فوق Ric تنسور ِ ریچیِ متریک g است و k یک ثابت، که بعضاً ثابت ِ کیهان‌شناسی خوانده می‌شود. شناخته‌شده‌ترین ردهٔ این خانواده خمینه‌ها خمینه‌های موسوم به کالابی-یائو اند که ثابت ِ اینشتین‌‌شان صفر است. این فضاها مثال‌های مهمّی از خمینه‌های ریچی-تخت به دست می‌دهند.

مسئلهٔ وجود ِ متریک‌های کِهِلر-اینشتین اوّلین‌ بار به دست ِ کالابی در دههٔ ۵۰ م. صورت‌بندی شد. وی حدسی مطرح کرده بود که هرگاه ردهٔ اوّل چِرن ِ یک خمینهٔ کِهلری علامت‌دار (یعنی مثبت، منفی، یا صفر) باشد، همواره در هر ردهٔ کِهلِر یک متریک کِهلِر-اینشتین یک‌تا وجود دارد. کالابی به علاوه نشان داد که حلّ این مسئله قابل ِ تحویل به حلّ معادلهٔ مُنژ-آمپرِ مختلط است. در حالت ِ ردهٔ چرن ِ نامثبت کارهای تیِری اُبَن و یائو روی معادلهٔ مُنژ-آمپرِ مختلط در سال ِ ۱۹۷۸ م. به حدس ِ کالابی جواب ِ مثبت داد. امّا بعدها مشخّص شد که درحالت ِ ردهٔ اوّل چِرنِ مثبت برای تضمین ِ وجود ِ متریک‌های کهلر-اینشتین شرایط ِ بیشتری می‌باید قرار داده شود. به علاوه، در این حالتْ یک‌تایی ِ جواب صرفاً به تقریب ِ عمل ِ میدان‌های برداری ِ هولومرفیک برقرار است. در سال ِ ۲۰۱۲، سلسله مقالات ِ ش.-ش. چِن، سایمن دنالدسن و سُنگ سون نشان داد که وجود ِ متریک‌های کِهلِر-اینشتین در حالت ِردهٔ اوّل چرن ِ مثبت معادل با K-پای‌داری ِ خمینه است.

منابع

• Aubin, Thierry, Équations du type Monge-Ampère sur les variétés kählériennes compactes, Bull. Sci. Math. (2) 102 (1978), no. 1, 63–95
• Bourguignon, Jean-Pierre (1979), "Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et S. T. Yau]", Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78), Lecture Notes in Math., vol. 710, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 1–21, doi:10.1007/BFb0069970, ISBN 978-3-540-09243-8, MR 0554212 This gives a survey of the work of Aubin and Yau.
• Calabi, Eugenio (1954), "The space of Kähler metrics", Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam, vol. 2, pp. 206–207, archived from the original (PDF) on 17 July 2011, retrieved 16 March 2015
• Calabi, Eugenio (1957), "On Kähler manifolds with vanishing canonical class", in Fox, Ralph H.; Spencer, D. C.; Tucker, A. W. (eds.), Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Mathematical Series, vol. 12, Princeton University Press, pp. 78–89, MR 0085583
• Chen, X-X. Donaldson, S. and Sun, S. Kähler-Einstein metrics and stability, arXiv:1210.7494.
• Moroianu, Andrei (2007). Lectures on Kähler Geometry. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 69. Cambridge. ISBN 978-0-521-68897-0.
• Yau, Shing Tung (1978), "On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I", Communications on Pure and Applied Mathematics, 31 (3): 339–411, doi:10.1002/cpa.3160310304, MR 0480350