جذر ماتریس

در ماتریس‌ها نیز همانند اعداد مفهوم ریشه دوم گرفتن قابل تعریف است. در ریاضیات به ویژه در حساب بردارها و معادلات چند متغیره ریشه یا جذر ماتریس دارای کاربردهای فراوان است. ماتریس B را ریشه یا جذر ماتریس A می‌گوییم هر گاه B.B=A باشد.

ویژگی ها

به طور کل هر ماتریس مفروض می‌تواند تعداد زیادی جذر یا ریشه دوم داشته باشد. به عنوان مثال ماتریس $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \bigr)$ دارای ریشه‌های $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&4\\ 8&5\end{smallmatrix} \bigr)$ و $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \bigr)$ و همینطور دو قرینه جمعیشان می‌باشد. مثال دیگر ماتریس یکهٔ $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr),$ است که دارای بینهایت ریشهٔ دوم متقارن به صورت $\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ \mp s&\mp r\\ \mp r&\pm s\end{smallmatrix} \bigr),$ $\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ \pm s&\mp r\\ \mp r&\mp s\end{smallmatrix} \bigr),$ $\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ \mp r&\mp s\\ \mp s&\pm r\end{smallmatrix} \bigr),$ $\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ \pm r&\mp s\\ \mp s&\mp r\end{smallmatrix} \bigr),$ $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&\pm 1\end{smallmatrix} \bigr),$ و $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ \pm 1&0\\ 0& 1\end{smallmatrix} \bigr),$ بوده، که درآن s،r،t هر سه گانه فیثاغورثی است یعنی هر مجموعه‌ای از عدد صحیح مثبت که $r^2 + s^2 = t^2.$ باشد.

یک ماتریس مثبت معین نیز دقیقا یک ریشه معین مثبت دارد که آن را می‌توان ریشه دوم اصلی آن خواند. ریشه دوم یک ماتریس می‌تواند متشکل از اعداد صحیح یا اعداد گویا باشد. به عنوان مثال $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ ~\;0&4\\ -1&5\end{smallmatrix} \bigr)$ دارای ریشه دوم $\bigl( \begin{smallmatrix}\\ ~\;2/3&4/3\\ -1/3&4/3\end{smallmatrix} \bigr)$ و همچنین ریشه ی$\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 2&-4\\ 1&-3\end{smallmatrix} \bigr)$ که یک ماتریس صحیح است می‌باشد. مثال ماتریس یکه مذکور نیز مثال دیگری است که در آن یک ماتریس صحیح دارای برخی ریشه‌های مختلط است.

روش محاسبه

روش قطری سازی

ریشه دوم یک ماتریس قطری D نیز خود یک ماتریس قطری است که عناصر روی قطر اصلی آن هریک جذر عنصر روی قطراصلی ماتریس D هستند. این مسئله پایه‌ای برای نوعی متد محاسبه ریشه دوم ماتریس است که آن را روش قطری سازی می‌نامند.

ماتریس n×n A قطری شدنی است اگر ماتریسی قطری مانند V وجود داشته باشد که $D = V^{-1} A V$ . این مسئله تنها وقتی میسر است که ماتریس A دارای n بردار ویژه باشد. در این صورت ماتریس V ماتریسی می‌تواند باشد که بردارهای ویژه مذکور ستون‌های آن باشند. پس $A = V D V^{-1}$ و بنابراین ریشه دوم A می‌شود:

$A^{1/2} = V D^{1/2} V^{-1} \,$

که در آن $D$^۱/۲ ریشه دوم $D$ است.

مثال ماتریس $A = \bigl(\begin{smallmatrix}\\ 33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \bigr)$ می‌تواند به صورت $V D V^{-1}$ قطری شود که در آن $V = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&~\;1\\ 2&-1\end{smallmatrix} \bigr)$ و $D = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 81&0\\ ~\;0&9\end{smallmatrix} \bigr)$ D یک ریشه دوم به صورت $D^{1/2} = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 9&0\\ 0&3\end{smallmatrix} \bigr)$ دارد و در نتیجه $A^{1/2} = V D^{1/2} V^{-1} = \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \bigr)$ محدودیت این روش این است که تنهابرای ماتریس های قطری شدنی قابل کاربرد است. برای ماتریس های قطری نشدنی می توان از فرم نرمال جردن ماتریس کمک گرقت.

روش دنمان-بیورز (Denman–Beavers)

یک روش دیگر برای به دست آوردن ریشه دوم یک ماتریس n×n روش دنمان بیورز است که مبتنی بر یک سری محاسبات مکرر می باشد. برای محاسبه ریشه دوم ماتریس مفروض A، ماتریس های Y_۰ = A و Z_۰ = I را داریم که در آن I یک ماتریس یکه n×n است. بر اساس محاسبات مکرر در این روش داریم:

$\begin{align} Y_{k+1} &= \tfrac12 (Y_k + Z_k^{-1}), \\ Z_{k+1} &= \tfrac12 (Z_k + Y_k^{-1}). \end{align}$

با تکرار این محاسبات ماتریس $Y_k$ به A^۱/۲ و همینطور ماتریس $Z_k$ به معکوس آن یعنی A^−۱/۲ میل می کند. اگرچه ضمانتی برای همگرا شدن این ماتریس‌ها حتی در صورت دارا بودن ریشه دوم وجود ندارد. ولی در صورت همگرایی هدف روش در محاسبه ریشه دوم برآورده می شود.

روش بابلی(Babylonian Method)

روش مکرر مشهور دیگر برای محاسبه ی جذر ماتریس بر گرفته از متد بابلی برای محاسبه جذر اعداد حقیقی است. فرض کنیم با X_۰ = Iباشد که l در آن یک ماتریس یکه n×n است. داریم:

$X_{k+1} = \tfrac12 (X_k + A X_k^{-1})\,.$

اگرچه باز هم مانند روش دنمان- بیورز ضمانتی برای همگرا شدن $X_k$ وجود ندارد. اما درصورت همگرایی حاصل به A^۱/۲ میل می کند. مزیت این روش نسبت به روش دنمان-بیورز این است که برای هر مرحله تنها به یک بار محاسبه معکوس ماتریس نیاز داریم. با این وجود احتمال عدم همگرایی در این روش نسبت به روش قبل بیشتر است.

روش محاسبه به کمک بردارها و مقادیر ویژه

روش معمولا ساده تری که برای محاسبه‌ی ریشه دوم یک ماتریس k×k مانند A می توان از آن بهره برد استفاده از فرمولAv=λv است که در آن V بردار ویژه خاص متناظر با مقدار ویژه خاص λ است. می توان فرمول بالا را برای ماتریس A به توان n مثبت صحیح و هم چنین n=1/۲ به صورت زیر بسط داد. لذا خواهیم داشت:

$A^{n}\mathbf{v} = \lambda^{n} \mathbf{v} \,$

و برای n=1/۲ داریم

$A^{1/2}\mathbf{v} = \lambda^{1/2} \mathbf{v} \,$

لذا با محاسبه هریک از مقادیر و بردارهای ویژه و حل یک معادله چند مجهولی می توان مقدار جذر ماتریس A را به دست آورد.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Square root of a matrix»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۹ فوریه ۲۰۱۱).

کتابنما

• Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J. (2001), "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 22 (4): 1112–1125, DOI:10.1137/S0895479899364015, http://www.eeweb.ee.ucla.edu/publications/journalAlanLaubajlaub_simax22(4)_2001.pdf 
• Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N. (1976), "The matrix sign function and computations in systems", Applied Mathematics and Computation 2 (1): 63–94, DOI:10.1016/0096-3003(76)90020-5 
• Burleson, Donald R., Computing the square root of a Markov matrix: eigenvalues and the Taylor series, http://www.blackmesapress.com/TaylorSeries.htm