حساب تغییرات: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۱۰ اکتبر ۲۰۱۹، ساعت ۱۰:۰۲

حساب تغییرات یا حساب وردشی حوزه ای از آنالیز ریاضی است که از وردش (تغییرات) کوچک در توابع و تابعک ها برای یافتن ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها سود می جوید: نگاشت هایی از یک دسته تابع به اعداد حقیقی.^{[یادداشت ۱]} تابعک ها اغلب به صورت انتگرال های معینی بیان می شوند که در آن توابع و مشتقاتشان ظاهر می شوند. توابعی که تابعک ها را ماکسیمم و مینیمم می کنند را می توان در حساب تغییرات توسط معادلات اویلر-لاگرانژ پیدا کرد.

مثالی ساده از چنین مسائلی یافتن خمی با کوتاه ترین طول بین دو نقطه است. اگر هیچ قیدی در کار نباشد، جواب این مسئله خط مستقیم بین آن دو نقطه خواهد بود. با این حال، اگر روی خمی قید بگذاریم که در رویه مورد نظر باقی بماند، آنگاه جواب کمی غیر بدیهی شده و ممکن است هم‌زمان چندین جواب وجود داشته باشد. به چنین راه حل هایی ژئودزی‌ها گویند. مسئله مرتبط دیگری توسط اصل فرما بیان می شود: نور کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه را طی می کند، که طول مسیر آن به مواد فضای پیرامونی اش بستگی دارد. مفهوم مرتبط دیگر در مکانیک اصل کمترین کنش است.

بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جواب های مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق می کنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فرو بردن یک قاب در محلول آب صابون بدست می آید. گرچه چنین آزمایشی را می توان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که به طور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویه ها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.

تاریخچه

می توان گفت که حساب تغییرا از مسئله مقاومت کمینه نیوتون در 1687 آغاز گشت، که به دنبال آن مسئله خم براخیستوکرون (خم کوتاه‌ترین زمان) در 1696 توسط یوهان برنولی مطرح شد.^[۲] بلافاصله پس از آن، توجه جیکوب برنولی و مارکوس دو هوپیتال هم جلب شد، اما اولین بار این لئونارد اویلر بود که مسئله را به دقت درد 1733 شرح داد. لاگرانژ توسط خدمات قابل توجه اویلر به این مسئله تحت تأثیر قرار گرفت. بعد از این که اویلر کار 1755 لاگرانژ 19 ساله را دید، رهیافت هندسی خود را رها کرده و به رهیافت آنالیز محض لاگرانژ پیوست و موضوع مورد مطالعه را در رساله 1756 خود (Elementa Calculi Variationum) به حساب تغییرات تغییر داد.^[۳]^[۴]^{[یادداشت ۲]}

مثال‌ها

به منظور درک آسانتر موضوع ابتدا مثال‌های سادهٔ زیر را در فضای متناهی البعد^[۵] مورد بررسی قرار می‌هیم (حساب تغییرات حالت بینهایت‌بعدی توابع ^[۶] همین مفاهیم و منظورها است).

مثال 1: فضای یک بعدی $x\!$

معادله ساده تک مجهولی زیر را در نظر می گیریم:

$4x-8=0\!$

حل مسئله خواهد شد:

$4x=8,x={\frac {8}{4}}=2\!$

نمایش جدید:

با انتگرال‌گیری از سمت چپ معادلهٔ اصلی، داریم:

$P(x)=\int (4x-8)\,dx=2x^{2}-8x+c\!$

مسئله زیر با آنکه نمایشی کاملاً متفاوت با اولی دارد، دقیقا همان بالایی است و درست همان جواب را دریافت می‌کند.

نقطه کمینه (مینیمُم) تابع زیر را پیدا کنید (بهینه‌سازی):

$P(x)=2x^{2}-8x+3\!$

حل مسئله خواهد شد:

${\frac {dP}{dx}}=0,4x-8=0,x=2\!$

مثال 2: فضای دو بعدی $x-y\!$

دستگاه ساده دو معادلهٔ دو مجهولی زیر را در نظر می‌گیریم:

$x+2y-5=0\!$

$2x+y-4=0\!$

به‌صورت ماتریسی:

$A\mathbf {x} -\mathbf {b} =0\!$

که در اینجا:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}},\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}5\\4\\\end{bmatrix}}$

حل مسئله خواهد شد:

$\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} ={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}-1&2\\2&-1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\\end{bmatrix}}$

نمایش جدید:

درست مثل حالت یک بعدی با انتگرال‌گیری از سمت چپ معادلهٔ ماتریسی اصلی، یعنی، $A\mathbf {x} -\mathbf {b} =0\!$ داریم:

$P(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{T}\mathbf {b}$

که با کمینه‌سازی سهموی حاصل (با معادلهٔ ماتریسی $P(\mathbf {x} )$ )می‌شود:

${\frac {dP}{d\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} -\mathbf {b} =0$

که همان جواب حالت پیشین است.^[۷]

یادداشت‌ها

↑ ازآنجا که حساب معمولی در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در متغیر توابع بدون تغییر در خود توابع است، حساب تغییرات در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در خود تابع بوده که به آن تغییرات یا وردش گویند. .^[۱]
↑ "Euler waited until Lagrange had published on the subject in 1762 ... before he committed his lecture ... to print, so as not to rob Lagrange of his glory. Indeed, it was only Lagrange's method that Euler called Calculus of Variations."^[۳]

منابع

↑ (Courant و Hilbert 1953، ص. 184)
↑ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485.
↑ ^۳٫۰ ^۳٫۱ Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier. p. 249. ISBN 9780080471297.
↑ Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 9781461381068.
↑ Finite dimensional spaces
↑ Infinite dimensional function spaces
↑ Introduction to Linear Algebra, p. 347

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Calculus of Variations». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳ اکتبر ۲۰۱۹.

برای مطالعه بیشتر

Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, شابک ‎۹۷۸−۱−۴۱۸۱−۸۲۰۱−۴.
Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
Dacorogna, Bernard: "Introduction" Introduction to the Calculus of Variations, 3rd edition. 2014, World Scientific Publishing, شابک ‎۹۷۸−۱−۷۸۳۲۶−۵۵۱−۰.
Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, شابک ‎۹۷۸−۳−۶۶۲−۰۳۲۷۸−۷ and شابک ‎۹۷۸−۳−۶۶۲−۰۶۲۰۱−۲
Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
Logan, J. David: Applied Mathematics, 3rd edition. Wiley-Interscience, 2006
Pike, Ralph W. "Chapter 8: Calculus of Variations". Optimization for Engineering Systems. Louisiana State University.
Roubicek, T.: "Calculus of variations". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, شابک ‎۹۷۸−۳−۵۲۷−۴۱۱۸۸−۷, pp. 551–588.
Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).

[2] ازآنجا که حساب معمولی در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در متغیر توابع بدون تغییر در خود توابع است، حساب تغییرات در مورد تغییرات بی نهایت کوچک در خود تابع بوده که به آن تغییرات یا وردش گویند. .^[۱]

[6] "Euler waited until Lagrange had published on the subject in 1762 ... before he committed his lecture ... to print, so as not to rob Lagrange of his glory. Indeed, it was only Lagrange's method that Euler called Calculus of Variations."^[۳]

[CourHilb1953P184-1] (Courant و Hilbert 1953، ص. 184)

[GelfandFominP3-3] Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485.

[Thiele-4] ۳٫۰ ^۳٫۱ Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier. p. 249. ISBN 9780080471297.

[Goldstine-5] Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 9781461381068.

[7] Finite dimensional spaces

[8] Infinite dimensional function spaces

[9] Introduction to Linear Algebra, p. 347

[یادداشت ۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[یادداشت ۲]

[۵]

[۶]

[۷]

[۱]

@@ خط ۵: / خط ۵: @@
 بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جواب های مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق می کنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فرو بردن یک قاب در محلول آب صابون بدست می آید. گرچه چنین آزمایشی را می توان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که به طور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویه ها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.
+== تاریخچه ==
-== نیازها و انگیزه‌ها ==
+می توان گفت که حساب تغییرا از مسئله مقاومت کمینه نیوتون در 1687 آغاز گشت، که به دنبال آن مسئله خم براخیستوکرون (خم کوتاه‌ترین زمان) در 1696 توسط یوهان برنولی مطرح شد.<ref name=GelfandFominP3>{{cite book|last1=Gelfand|first1=I. M.|authorlink1=Israel Gelfand|last2=Fomin|first2=S. V.|authorlink2=Sergei Fomin|ref=harv|title=Calculus of variations|year=2000|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0486414485|page=3|url=https://books.google.com/books?id=YkFLGQeGRw4C&dq|edition=Unabridged repr.|editor1-last=Silverman| editor1-first=Richard A.}}</ref> بلافاصله پس از آن، توجه جیکوب برنولی و مارکوس دو هوپیتال هم جلب شد، اما اولین بار این لئونارد اویلر بود که مسئله را به دقت درد 1733 شرح داد. لاگرانژ توسط خدمات قابل توجه اویلر به این مسئله تحت تأثیر قرار گرفت. بعد از این که اویلر کار 1755 لاگرانژ 19 ساله را دید، رهیافت هندسی خود را رها کرده و به رهیافت آنالیز محض لاگرانژ پیوست و موضوع مورد مطالعه را در رساله 1756 خود (''Elementa Calculi Variationum'') به ''حساب تغییرات'' تغییر داد.<ref name=Thiele>{{cite book |last=Thiele |first=Rüdiger |editor-last1=Bradley |editor-first1=Robert E. |editor-last2=Sandifer |editor-first2=C. Edward |title=Leonhard Euler: Life, Work and Legacy |publisher=Elsevier |year=2007 |page=249 |chapter=Euler and the Calculus of Variations |chapter-url=https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA249 |isbn=9780080471297}}</ref><ref name=Goldstine>{{cite book |last=Goldstine |first=Herman H. |year=2012 |title=A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century |url=https://books.google.com/books?id=_iTnBwAAQBAJ&q=first+real#v=onepage&q=%22Indeed%20after%20seeing%20Lagrange's%20work%2C%20Euler%20dropped%20his%20own%20method%2C%20espoused%20that%20of%20Lagrange%2C%20and%20renamed%20the%20subject%20the%20calculus%20of%20variations.%22&f=false |publisher=Springer Science & Business Media |page=110 |isbn=9781461381068 |author-link=Herman Goldstine }}</ref>{{refn|"Euler waited until Lagrange had published on the subject in 1762 ... before he committed his lecture ... to print, so as not to rob Lagrange of his glory. Indeed, it was only Lagrange's method that Euler called Calculus of Variations."<ref name=Thiele/> |group="یادداشت"}}
-از عمده‌ترین انگیزه‌های ابداع و گسترش حساب تغییرات را می‌توان نیازهای تدریجی [[مکانیک کلاسیک]] به فرافکنی مشکلات محاسباتی از حوزهٔ [[مشتق|مشتق‌ها]] و حل [[معادلات دیفرانسیل]] به حوزه [[انتگرال|انتگرالها]] و [[بهینه‌سازی]] ذکر نمود.
 === مثال‌ها ===
@@ خط ۴۷: / خط ۴۷: @@
 </div>
-مثال ۲: فضای دو بعدی <math> x-y \!</math>
+مثال 2: فضای دو بعدی <math> x-y \!</math>
 دستگاه ساده دو معادلهٔ دو مجهولی زیر را در نظر می‌گیریم:
@@ خط ۱۳۱: / خط ۱۳۱: @@
 که همان جواب حالت پیشین است.<ref>Introduction to Linear Algebra, p. 347</ref>
 == یادداشت‌ها ==