حلقه (ریاضیات)

تصویر: فصل IX از کتاب دیوید هیلبرت به نام: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. عنوان این فصل Die Zahlringe des Körpers است. معنای تحت اللفظی آن می شود: "حلقه های عددیِ میدان". کلمه "حلقه" در این جا ادغامی از "Zahlring" است.

فصل IX از کتاب دیوید هیلبرت به نام: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. عنوان این فصل Die Zahlringe des Körpers است. معنای تحت اللفظی آن می شود: "حلقه های عددیِ میدان". کلمه "حلقه" در این جا ادغامی از "Zahlring" است.

در ریاضیات، حلقه ساختار بنیادین جبری در جبر مجرد است. این ساختار شامل مجموعه ای مجهز به عملگر دوتایی بوده که تعمیم دهنده عملیات حسابی جمع و ضرب است. از طریق این تعمیم، قضیه های حساب به اشیاء غیر عددی چون چند جمله ای ها، سری ها، ماتریس ها و توابع تعمیم پیدا می ند.

یک حلقه گروهی آبلی است به همراه عملگر دوتایی ثانویه ای که خاصیت شرکت پذیری داشته و روی عملگر گروهی آبلی توزیع پذیر است و دارای عنصر همانیست (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، § یادداشت های مربوط به تعاریف را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه ها، جمع و به عملگر ثانویه آن ضرب گویند.

این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده هایی که به طور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفته است. مثال هایی از حلقه های جابجایی شامل این موارد می شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال هایی از حلقه های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس های حقیقی مربعی $n\times n$ که در آن $n\geq 2$، حلقه گروه ها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگر های دیفرانسیلی در نظریه عملگر های دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی.

مفهوم سازی برای حلقه ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دهه ی ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرآیند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقه ها را اولین بار به عنوان تعمیم هایی از دامنه های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه های چند جمله ای و پایا هایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می شوند، به صورت صوری و رسمی در آوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه ها در دیگر شاخه های ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.

یادداشت ها

^ a: برخی مؤلفان تنها نیم گروه بودن حلقه تحت ضرب را الزامی می دانند؛ یعنی نیاز نیست حلقه عنصر همانی ضربی داشته باشد (۱).
^ b: عناصری که معکوس ضربی داشته باشند را یکال گویند., این مرجع را ببینید: Lang 2002, §II.1, p. 84.
^ c: اصل موضوع بسته بودن پیش از این در تعریف دوتایی بودن عملیات +/• لحاظ شده است. لذا برخی مؤلفین این اصل را حذف می کنند Lang ۲۰۰۲
^ d: انتقال از اعداد صحیح به اعداد گویا با اضافه نمودن کسر ها توسط مفهوم "میدان کسرها" تعمیم پیدا می کند.
^ e: بسیاری از مؤلفان جابجا بودن حلقه را در "اصول موضوعه" حلقه می گنجانند و لذا به چنین حلقه هایی "حلقه های جابجایی"، یا فقط "حلقه" گویند.

ارجاعات

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ring (Mathematics)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

منابع

منابع عمومی

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice-Hall.
• Atiyah, Michael; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison–Wesley.
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer.
• Cohn, Paul Moritz (2003), Basic algebra: groups, rings, and fields, Springer, ISBN 978-1-85233-587-8.
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer.
• Gallian, Joseph A. (2006). Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition. Houghton Mifflin. ISBN 9780618514717.
• Gardner, J.W.; Wiegandt, R. (2003). Radical Theory of Rings. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 0824750330.
• Herstein, I. N. (1994) [reprint of the 1968 original]. Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. Vol. 15. With an afterword by Lance W. Small. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X.
• Hungerford, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition. Brooks/Cole. ISBN 9780030105593.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Jacobson, Nathan (1964). "Structure of rings". American Mathematical Society Colloquium Publications (Revised ed.). 37.
• Jacobson, Nathan (1943). "The Theory of Rings". American Mathematical Society Mathematical Surveys. I.
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945.
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
• Lam, Tsit Yuen (2003). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-00500-5.
• Lam, Tsit Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 189. Springer. ISBN 0-387-98428-3.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
• Milne, J. "A primer of commutative algebra".
• Rotman, Joseph (1998), Galois Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-98541-7.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1930), Moderne Algebra. Teil I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 33, Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016.
• Warner, Seth (1965). Modern Algebra. Dover. ISBN 9780486663418.
• Wilder, Raymond Louis (1965). Introduction to Foundations of Mathematics. Wiley.
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra. Vol. 1. Van Nostrand.

منابع تخصصی

• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7.
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2.
• Ballieu, R. (1947). "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif". Ann. Soc. Sci. Bruxelles. I (61): 222–227.
• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge University Press.
• Cohn, Paul Moritz (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 57, Cambridge University Press, ISBN 9780521432177.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960.
• Gilmer, R.; Mott, J. (1973). "Associative Rings of Order". Proc. Japan Acad. 49: 795–799. doi:10.3792/pja/1195519146.
• Harris, J. W.; Stocker, H. (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer.
• Jacobson, Nathan (1945), "Structure theory of algebraic algebras of bounded degree", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 46 (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205.
• Knuth, D. E. (1998). The Art of Computer Programming. Vol. Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison–Wesley. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover.
• Milne, J. "Class field theory".
• Nagata, Masayoshi (1962) [1975 reprint], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856.
• Pierce, Richard S. (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 88. Springer. ISBN 0-387-90693-2.
• Poonen, Bjorn, Why all rings should have a 1 (PDF)
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Springer.
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 585, Springer, ISBN 9783540373704.
• Weibel, Charles. "The K-book: An introduction to algebraic K-theory".
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 28–29. Springer. ISBN 0-387-90089-6.

منابع اولیه

• Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176.
• Hilbert, David (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4.
• Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen. 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/bf01464225.

منابع تاریخی

• History of ring theory at the MacTutor Archive
• Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane (1996) A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillan.
• Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. (2004) Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag شابک ‎۳−۵۴۰−۴۳۴۹۱−۷.
• Faith, Carl (1999) Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society شابک ‎۰−۸۲۱۸−۰۹۹۳−۸.
• Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press.
• Israel Kleiner (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", American Mathematical Monthly 103: 417–424 doi:10.2307/2974935
• Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", Elemente der Mathematik 53: 18–35.
• B. L. van der Waerden (1985) A History of Algebra, Springer-Verlag,