زمان توقف

مثالی از زمان مارکوف: زمان برخورد در حرکت براونی. فرایند از صفر شروع می‌شود و با رسیدن به یک متوقف می‌شود (شرط توقف).

در نظریه احتمالات زمان توقف (به انگلیسی: stopping time) که به آن زمان مارکوف (به انگلیسی: Markov time) هم می‌گویند یک متغیر تصادفی است و بیان‌گر زمان انجام یک فرایند تصادفی است. این زمان تصادفی تا آن‌جا ادامه پیدا می‌کند که شرط توقف ارضا شود. شرط توقف یک سازوکار تعیین‌کننده برای ادامهٔ فرایند یا توقف آن است که با ارضای آن فرایند متوقف می‌شود. باید به این نکته توجه شود که شرط توقف باید به گونه‌ای تعیین شود که با اطلاعات گذشته و حال بتوان پیش‌بینی کرد که به احتمال قریب به یقین این شرط در فرایند ارضا خواهد شد.

تعریف

اگر در فضای احتمالی $\tau$ را متغیر تصادفی در نظر بگیریم به طوری که ${t\in T}$ باشد. آنگاه $\tau$ برابر با زمان توقف است اگر و تنها اگر فرایند تصادفی X به صورت زیر باشد:

$X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}t\leq \tau \\0&{\text{ if }}t>\tau \end{cases}}$

چند مثال

فرض کنید یک نفر که ۱۰ سکه دارد مشغول یک بازی با دستگاه بازی است. این دستگاه پس از وارد شدن یک سکه به آن روشن شده و بعد از اتمام بازی بسته به عملکرد فرد جایزه می‌دهد. اگر فرد بد بازی کند هیچ سکه‌ای نمی‌گیرد ولی هر چه فرد بهتر بازی کند سکهٔ بیشتری جایزه می‌گیرد. حال با توجه به این موارد بررسی می‌شود که کدام یک از موارد زیر می‌تواند شرط توقف باشد.

• «فرد دقیقاً ۵ بار بازی کند»، یک شرط توقف است (۵=$\tau$).
• «فرد آن قدر بازی کند تا سکه‌اش تمام شود»، یک شرط توقف است زیرا می‌دانیم طبق قوانین احتمالاتی به احتمال قریب به یقین این اتفاق رخ خواهد داد.
• «فرد آن قدر بازی کند که بیشترین سکه ممکن را به دست آورد» یک شرط توقف نیست زیرا فرد هیچ وقت نمی‌داند که میزان سکه‌ای که دارد بیشینه است یا در آینده بیشینه می‌شود و بنابراین براساس آن نمی‌تواند بازیش را متوقف کند.
• « «فرد آن قدر بازی کند تا تعداد سکه‌هایش دو برابر شود» یک شرط توقف نیست زیر احتمال رخ دادن این شرط برابر با یک نیست و ممکن است این شرط ارضا نشود.

منابع

• Tom Fischer (۳ اکتبر ۲۰۱۲)، ELSEVIER، doi:10.1016/j.spl.2012.09.024
• Olav Kallenberg (۲۰۱۷)، Random Measures, Theory and Applications، Springer، doi:10.1007/978-3-319-41598-7، شابک ۹۷۸-۳-۳۱۹-۴۱۵۹۶-۳
• Shiryaev, Albert N. (2007). Optimal Stopping Rules. Springer. ISBN 3-540-74010-4.
• An introduction to stopping times.