فرایندهای تصادفی گاوسی-مارکوف

فرایندهای تصادفی گاوس مارکوف  (برگرفته شده از نام کارل فریدریش گاوس و آندری مارکوف)فرآیندهای تصادفی هستند که ویژگیها و ملزومات فرایندهای گاوسی و فرآیندهای مارکوف را همزمان دارند. فرآیند گاوس مارکوف ایستا (همچنین شناخته شده به عنوان فرآیند Ornstein–Uhlenbeck) استثنا است چرا که به جز مواردی کم اهمیت، یکتا است.

هر فرآیند گاوس–مارکف X(t) دارای سه خاصیت زیر است:

1. اگر h(t) تابع غیر صفر مقیاس بندی از زمان t باشد،Z(t) = h(t)X(t) نیز فرآیند گاوس–مارکف است.
2. اگر f(t) تابع غیرنزولی مقیاس بندی از زمان t باشد، Z(t) = X(f(t)) نیز فرآیند گاوس–مارکف است.
3. تابع غیرصفر مقیاس بندی h(t) و تابع غیرنزولی مقایس بندی  f(t)  که X(t) = h(t)W(f(t)) و  W(t) فرآیند استاندارد وینر است.

خاصیت (3) به این معنی است که هر فرآیند گاوس-مارکوف را می توان از ترکیب کردن فرآیند استاندارد وینر (SWP) بدست آورد.

خواص فرآیندهای گاوس-مارکف ایستا

فرآیند گاوس–مارکف ایستا با واريانس ${\displaystyle }$ وثابت زمانی ${\displaystyle }$ دارای خاصیت های زیر می باشد.

همبستگی نمای:

${\displaystyle }$

تابع  چگالی طیف توان (PSD) است که شبیه به  توزیع کوشی است:

${\displaystyle }$

(توجه داشته باشید که از منظر فاکتورهای مقیاسی، توزیع کوشی و این طیف متفاوت هستند.)

توجه داشته باشید که نکته اشاره شده در بالا، فاکتور طیفی زیر را نتیجه می دهد:

${\displaystyle }$

که در فیلترینگ وینر و دیگر موراد مهم و کاربردی است.

استثناهای جزئی در موراد بالا وجود دارد.

همچنین نگاه کنید

فرآیندهای Ornstein–Uhlenbeck