تفاضل محدود

تفاضل محدود (انگلیسی: Finite difference) تفاضل محدود بیان ریاضی عبارت (f(x + b) − f(x + a می باشد. اگر یک تفاضل محدود بر b – a تقسیم شود، خارج قسمت تفاضلی خواهیم داشت. تقریب مشتقات در تفاضل محدود نقش مهمی را در روش های تفاضل محدود گرفتن برای راه حل عددی معادلات دیفرانسیل، به خصوص مسائل مقدار مرزی، ایفا می کند. روابط بازگشتی معین را می توان به صورت معادلات تفاضلی با جایگزین کردن نمادگذاری تکراری با تفاضلات محدود نوشت. امروزه، اصطلاح "تفاضل محدود" به عنوان مترادف تقریبات تفاضل محدود مشتقات، مخصوصا در زمینه روش های عددی می باشد.تقریبات تفاضل محدود، در واقع همان خارج قسمت های تفاضلی محدود در اصطلاحات به کار رفته در بالا می باشد. تفاضلات محدود، موضوع مطالعه اشیای ریاضی خود-اتکای مطلق می باشد و افرادی چون: جورج بول(1860)، مایلن تامسون(1933) و کارلی جوردن(1939)، که اصول آن به ایساک نیوتون برمیگردد،در این زمینه کار کردند. در این دیدگاه،احتساب رسمی تفاضل محدود همانند احتساب چیزهای بی نهایت کوچک است.

تفاضل پیشین ، پسین و مرکزی(در بازه)

3 شکل متداول وجود دارد:تفاضل پیشین، پسین و مرکزی. تفاضل پیشین بیانگر عبارت زیر میباشد.

:$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\$

در کاربرد، ناحیه h میتواند ثابت یا متغیر باشد. اگر حذف شده باشد، باید h را 1 درنظر بگیریم: $\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)$.

تفاضل پسین،از مقادیر تابعی x و x – h به جای x+h و x استفاده می کند:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\$

و در نهایت، تفاضل مرکزی به صورت زیر داده می شود:

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).\$

رابطه با مشتق

''مشتق''تابع f در نقطه x به صورت ''حد'' تعریف میشود:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

اگر h یک مقدار ثابت(غیر صفر) داشته باشد درعوض نزدیک شدن به صفر[حدی]، آنگاه سمت راست رابطه فوق به صورت زیر نوشته می شود:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

بنابراین، تفاضل پیشین تقسیم شده بر h، وقتی h کوچک باشد تقریب مشتق خواهد بود. خطای این تقریب را میتوان با نظریه تیلور مشتق کرد. فرض کنید که f دیفرانسیل پذیر باشد، آنگاه خواهیم داشت:

${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

فرمول مشابه برای تفاضل پسین:

${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

با این حال، تفاضل مرکزی تقریب دقیق تری را داراست. اگر f دوبار دیفرانسیل پذیر باشد،داریم:

${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!$

مشکل اصلی در روش تفاضل مرکزی، این است که توابع نوسانی مشتق صفر را دارند. اگر f(nh)=1 که n فرد می باشد، و f(nh)=2 که n زوج می باشد،آنگاه f’(nh)=0 که بصورت تفاضل مرکزی محاسبه می شود. حال اگر دامنه تابع f گسسته باشد، مشکلاتی خواهیم داشت. کسانی که تفاضلات محدود به معنای تقریبات تفاضل محدود می باشد، تفاضلات مرکزی/پسین/پیشین را همانند خارج قسمت داده شده در این بخش تعریف کنند( در عوض به کار گرفتن تعریف داده شده در بخش قبلی)

تفاضلات مراتب بالاتر

به طور متشابه میتوان تقریبات تفاضل محدود را به مشتقات مراتب بالاتر و عملگرهای دیفرانسیلی تعمیم داد. به عنوان مثال، با استفاده از فرمول تفاضل مرکزی برای (f ' (x+h/2 و (f ' (x-h/2 و به کارگیری فرمول تفاضل محدود مرکزی برای مشتق 'f در نقطه x، می توان تقریب تفاضل محدود مشتق دوم f را به دست آورد: مرتبه دوم مرکزی:

$f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

و همچنین میتوان از فرمول های تفاضلی دیگر نیز در به شیوه گذشته استفاده کرد: مرتبه دوم پیشین:

$f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

به طور کلی تر،تفاضل مرتبه nام پیشین، پسین و مرکزی به صورت زیر بیان می شود: پیشین:

$\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),$

برای h=1:

$\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)$

پسین:

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

مرکزی:

$\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

در این روابط از ضریب 2 جمله ای بعد ازعلامت مجموع به صورت | استفاده شده است. هریک از سطور مثلث پاسکال یک ضریب را به ازای هر i ایجاد می کند. توجه داشته باشید که تفاضل مرکزی ضریب غیر صحیح h(برای nفرد) را دارا خواهد بود. این یک مسئله است؛زیرا مقداری می گیرد که ورود گسسته را تغییر میدهد. این مشکل را میتوان به محاسبه میانگین | و | اصلاح نمود. تفاضلات پیشین در دنباله،همان تبدیل 2جمله آن دنباله، ویژگی های ترکیبی جالب زیادی دارد.تفاضلات پیشین را میتوان با انتگرال خاص نورلاند-رایس سنجید. اراده انتگرال برای این گوونه سری ها جالب است! زیرا انتگرال را میتوان با استفاده از بسط مجانب یا نقطه زینی شکل، مورد ارزیابی قرار داد. در مقابل، سنجش عددی سری های تفاضل پیشین،کار بسیار مشکلی است؛زیرا بسط 2 جمله ای برای n های بزرگ رشد سریعی دارد. ارتباط تفاضلات مراتب بالاتر و مشتقات نسبی به ترتیب زیر می باشد:

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).$

از تفاضلات مراتب بالاتر می توان برای تقریبات بهتر بهره برد. همانطور که در بالا بیان شد، تفاضل مرتبه اول مشتق مرتبه اول را تا مرتبه h تقریب می زند. با این حال ترکیب

${\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}$

f'(x) را تا مرتبه h² تقریب میزند. این را میتوان با بسط دادن سری تیلور عبارت بالا ثابت کرد، یا با احتساب تفاضلات محدود که در زیر بیان شد. اگر لازم باشد، تفاضل محدود را می توان در هر نقطه مرکزی کرد با ترکیب تفاضلات مرکزی ، پیشین و پسین.

هسته هایی با اندازه تصادفی

با استفاده از جبر خطی میتوان تقریبات را به راحتی محاسبه نمود.برای نمونه، تعداد تصادفی نقطه به چپ و تعداد(متفاوتی) به راست یک نقطه مرکزی، برای هر مرتبه از مشتق میتوان انتخاب نمود. این دربردارنده یک سامانه خطی است به طوری که بسط تیلور در مجموع آن نقاط ،حول یک نقطه میانی، به خوبی بسط تیلور مشتق مطلوب را تخمین می زند. این برای تفاضل یک تابع در یک صفحه، هنگامی که آن به لبه ی صفحه نزدیک می شود، آنگاه باید نقطه های یک وجه را کم کرد. جزئیات در یادداشت های ویکی پدیا انگلیسی. (notes)

ویژگی ها

• برای هر k و n مثبت:

$\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h).$

• قانون لایب نیتز:

$\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

روش های تفاضل محدود

یکی از کاربرد های مهم تفاضل محدود در تحلیل عددی، به خصوص در معادلات دیفرانسیلی عددی می باشد که هدف در راه حل های عددی مرتبه ای و معادلات دیفرانسیلی ناکامل و عادی جزئی می باشد. این نظریه مشتقات را در معادلات دیفرانسیل با تفاضلات محدود که آن ها را تقریب می زند، جایگزین می کند. روش های نتیجه گیری شده، روش های تفاضل محدود نام میگیرند. کاربرد های رایج روش تفاضل محدود در حیطه علوم کامپیوتر،علوم مهندسی مانند مهندسی حرارت و سیالات در مکانیک و ... می باشد.

سری های نیوتون

سری های نیوتون دربردارنده جملات معادله تفاضل پیشین نیوتون است که بعد از نیوتون نام گذاری شد.در ماهیت،این فرمول الحاقی نیوتون می باشد، که اولین بار اصول ریاضی خود در سال 1687 چاپ شد. اسما آنالوگ گسسته ی بسط تیلور پیوسته نیز می باشد.

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}~(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)~,$

که هر تابع چند جمله ای و تحلیلی (نه همه ی آن ها) را پوشش می دهد. بسط زیر

${x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$

ضریب 2 جمله ای نام دارد، و

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

فاکتوریل نزولی می باشد، درحالی حاصل صفر 1 تعریف می شود. در این مثال خاص، فرض پله های واحد برای تغییرات در مقادیر x و h=1 در کل وجود دارد. به تناظر این نتیجه با نظریه تیلور توجه داشته باشید. مورخا،همانند مفهوم چو-واندرموند، (تعمیم این رابطه و متناظر نظریه 2 جمله ای)

$(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}~,$

دیدگاه های تعمیم یافته سامانه حسابی آمبرال شامل شده است. برای بیان این که چطور یک نفر از فرمول نیوتون در تمرینات خود استفاده می کند،دوبرابر جملات اول و کوتاه دنباله فیبوناتچی را در نظر بگیرید. f = 2, 2, 4, ... . هرکسی می تواند چند جمله ای از این مقادیر را پیدا کند.در ابتدا جدول تفاضلی را حساب کنیم و سپس تفاضلات را جایگزین کنیم متناظر x₀ در فرمول همانند زیر:

${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$

برای حالتی که واحد های مقادیر x یک اندازه نیستند،نیوتون قدر نسبت را محاسبه می کند.

$\Delta _{j,0}=y_{j},\quad \quad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\ \ j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\quad \quad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}$

حاصل سری ها

${P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right)~,$

و چندجمله ای نهایی حاصل اسکالر می باشد. $f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)$ .

در تحلیل اعداد غیرساده، نظریه ماهلر بیان می دارد که با فرض این که f یک تابع چند جمله ای باشد و به طور محض استمراری(متناوب) باشد میتوان آن را کم کرد. نظریه کارلسون شرایط لازم و کافی را برای یکتایی سری نیوتون، درصورت وجود، فراهم می کند.با این حال سری نیوتون در کل موجود نیست. سری های نیوتون،به همراه سری های استرلینگ و سلبرگ، نمونه خاص سری های تفاضلی می باشد که همه ی آنها به ازای تناسب مقیاسی تفاضلات پیشین تعریف میشود. در مجموع و کمی کلی تر،گره هایی با فاصله مساوی،فرمول به صورت زیر میشود:

$f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$

محاسبه ی تفاضلات محدود

تفاضل پیشین را می توان همانند عملگر تفریق در نظر گرفت، به طوری که تابع f بر Δ_h[f ] مپ می شود.برای این عملگر داریم:

$\Delta _{h}=T_{h}-I,\,$

T_h عملگر جابجایی به اندازه h واحد، که به صورت T_h[f ](x) = f(x+h) تعریف شده و I عملگر همانی می باشد. تفاضل محدود مراتب بالاتر را میتوان به شکل بازگشتی Δ_hⁿ ≡ Δ_h (Δ_hⁿ⁻¹) نوشت.تعریف معادل دیگر نیز بدین صورت می باشد: Δ_hⁿ = [T_h −I]ⁿ عملگر تفاضل Δ_h یک عملگر خطی بوده و با استفاده از قانون ویژه لایب نیتز که در بالا اشاره شد:

Δh(f(x)g(x)) = (Δhf(x)) g(x+h) + f(x) (Δhg(x)) .جملات مشابه در تفاضلات پسین و مرکزی را میتوان به دست آورد.

با استفاده از '''سری های تیلور''' نسبت به h،فرمول زیر به دست می آید:

$\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I~,$

که D عملگر مشتق پیوسته می باشد که f را به مشتق خود f' مپ می کند. بسط زمانی قابل قبول است که هر دو وجه برای h به اندازه کافی کوچک دارای توابع تحلیلی باشند. بنابراین T_h=e^hD و با تبدیل توان داریم:

$hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\cdots .\,$

این فرمول بیانگر این است که هردو عملگر نتیجه یکسانی در به کارگیری چندجمله ای دارند. هم چنین برای توابع تحلیلی،سری سمت راست الزاما همگرا نیست و ممکن است که یک سری مجانب باشد. با این حال،می توان از آن برای تقریبات دقیق مشتقات بهره برد.برای مثال،نگه داشتن دو جمله از سری،بیانگر مرتبه دوم بودن تقریب f’(x) است که در انتهای قسمت تفاضلات مراتب بالاتر بیان شد. فرمول های مشابه،برای عملگر های تفاضلات محدود پسین و مرکزی:

$hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\,\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}).$

محاسبه ی تفاضلات محدود مربوط محاسبه آمبرال تعداد راه های انجام آن]ترکیب[می باشد. در ارتباط سیستمی، سبب مفهوم کاموتاتور های مقادیر آمبرال به آنالوگ پیوسته خود می باشد (حد h→0)

${\Bigl [}{\frac {\Delta _{h}}{h}}~,~x\,T_{h}^{-1}{\Bigr ]}=[D~,~x]=I~.$

تعداد زیادی محاسبه استاندارد رابطه های دیفرانسیلی قراردادی شامل توابع f(x) می باشد. بنابراین نظیر های تفاضل محدود آمبرالی شامل f(xT_h⁻¹) را به طور جزء به جزء مپ می کنیم.برای مثال، نظیر آمبرالی تک جمله ای xⁿ ، تعمیم فاکتوریل نزولی می باشد.

$~(x)_{n}\equiv (xT_{h}^{-1})^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h)$

بنابراین:

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(x)_{n}=n~(x)_{n-1}~,$

پس فرمول الحاقی نیوتون در بالا( با نظیر کردن جملات در بسط یک تابع متغییر f(x) )و به همین ترتیب به دست می آید. برای مثال، آمبرال(هم ارز) سینوس به صورت زیر است:

$\sin(x\,T_{h}^{-1})=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots .$

همانند حد پیوسته، تابع مشخصه ی Δh /h نیز به شکل تواندار ظاهر می شود،

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(1+\lambda h)^{x/h}={\frac {\Delta _{h}}{h}}~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}=\lambda ~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}~,$

و بنابراین، مجموع فوریه ی توابع پیوسته بر آمبرال(هم ارز) مجموع فوریه، کاملا مپ شده اند؛ که شامل جملات فوریه مشابه ضرب شده در این نماهای پایه ای آمبرال(هم ارز) می باشد. این نماهای آمبرال، تابع مولد نمایی مرتبط با نماد گزاری های ویژه آن را مقداردهی می کند. بنابراین، به عنوان مثال، تابع دیراک دلتا ،بر متناظر آمبرال(هم ارز)خود مپ می شود.تابع سینوس کاردینال:

$\delta (x)\mapsto {\frac {\sin {\bigl [}{\frac {\pi }{2}}(1+x/h){\bigr ]}}{\pi (x+h)}}~,$

نیز به همین ترتیب خواهد بود. معادلات تفاضلی را می توان با تکنیک های معادلات دیفرانسیل حل کرد. عملگر وارون در وارون تفاضل پیشین، که همان انتگرال آمبرال می شود،مجموع نامعین یا عملگر پادتفاضلی است.

قوانین محاسبه عملگرهای تفاضل محدود

همانند قوانین مشتق، داریم:

• اصل ثابت عددی: اگر c یک ثابت عددی باشد، آنگاه

$\Delta c=0{\,}$

• خطی بودن: اگرa و b ثابت عددی باشند،

$\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g$

همه ی قوانین بالا، به طور معادل برای عملگر تفریق(تفاضل) شامل $\nabla$ و $\Delta$ نیز استفاده می شوند

• قانون توزیع پذیری:

$\Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g$

$\nabla (fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g$

• اصل خارج قسمت:

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}$

or

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}$

$\Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}$

• قوانین جمع سری:

$\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)$

$\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)$

تعمیم ها

• تعمیم تفاضل محدود به صورت زیر تعریف می شود:

$\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$

که $\mu =(\mu _{0},\ldots ,\mu _{N})$ بردار ضریب آن می باشد. یک تفاضل نامحدود، تعمیم دیگری می باشد، که جمع سری بالا با یک سری نامحدود جایگزین میشود. راه دیگر تعمیم، ضرایب | را به نقطه $\mu _{k}$ وابسته کنیم؛ بنابراین تفاضل محدود وزنی را درنظر می گیریم. هم چنین هرکدام بسته به نقطه x، h واحد را می توانند بر گزینند: $h=h(x)$

• این تعمیم ها برای ساخت انواع قدرمطلق پیوستگی مفید هستند.
• تعمیم تفاضل ممکن است به صورت چند جمله ای $R[T_{h}]$ دیده شوند. که منتهی تفریق جبری می شود.
• تعمیمات عملگر تفریق به وارون موبیوس روی مجموعه خوش ترتیب می رسد.
• در عملگر پیچش: با ظاهر شدن عبارات جبری،عملگرهای تفاضل و دیگر وارون های موبیوس را میتوان با پیچش یک تابع بر برداری که تابع موبیوس μ نامیده می شود،بیان کرد.برای عملگر تفریق، μ یک دنباله بدین شکل می باشد: (1, −1, 0, 0, 0, ...).

تفاضل محدود چند متغیره

تفاضلات محدود را میتوان با بیش از یک متغیر درنظر گرفت. آن ها همانند مشتقات نسبی چند متغیره هستند. بعضی از تغریبات مشتقات نسبی بدین صورت هستند(با استفاده از روش مرکزی):

$f_{x}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\$

$f_{y}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\$

$f_{xx}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\$

$f_{yy}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\$

$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}~.$

بعضا، برای برنامه هایی که در آنها محاسبه مستقیم تابع f میسر نیست، میتوان مشتق اول و دوم را محاسبه کرد. فرمول کارآمدتر حالت آخر به صورت زیر می باشد:

$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}}~,$

زیرا تنها مقادیری نیاز به چهار معادله گذشته را ندارند و میتوان محاسبه کرد f(x+h, y+k) و f(x−h, y−k) می باشند. منابع و متعلقات در ویکی پدیا انگلیسی.

جستارهای وابسته

• روش تفاضل محدود
• بسط تیلور

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Finite difference». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ ژوئن ۲۰۱۵.