کاربر:Z Ehyaei/صفحه تمرین

تفاوت در اختلافات (آمار)

تفاوت در اختلافات یک روش آماری است و در اقتصادسنجی و پژوهش کمی در علوم اجتماعی مورد استفاده قرار می گیرد. این روش تلاش می کند تا طرح و نتیجه یک آزمایش را با استفاده از مطالعه مشاهده‌ای نشان دهد. این کار از طریق مطالعه تاثیر افتراقی یک روش درمانی بر روی گروه درمان در مقابل گروه کنترل در یک آزمایش طبیعی صورت می گیرد. این روش با مقایسه میانگین تغییر متغیر نتیجه در طول زمان برای گروه درمانی ، در مقایسه با میانگین تغییر در طول زمان برای گروه کنترل اثر یک درمان بر نتیجه را محاسبه می کند.در این روش بسته به نوع انتخاب گروه درمانی ،ممکن است سوگیری در نتیجه وجود داشته باشد. روش تفاوت در اختلافات از داده‌های پانلی برای اندازه گیری تفاوت ها در بین گروه درمان و کنترل ،استفاده می کند.

تعریف کلی

در این روش به داده های اندازه گیری شده از دو گروه درمان و کنترل در دو یا چند دوره زمانی متفاوت نیاز است که حداقل یکی از این دوره های زمانی باید قبل از شروع درمان و دیگری بعد از شروع درمان باشد. در شکل زیر خروجی گروه درمان با خط P و خروجی گروه کنترل با خط S نمایش داده شده است. زمان T₁ قبل از این است که گروه درمان، درمانی دریافت کند و زمان T₂ زمانی است که گروه درمان قبل از آن، درمان را دریافت کرده است و در این زمان ها مقادیر متغیر وابسته برای هر یک از دو گروه اندازه گیری شده است. همه ی فاصله ی بین مقادیر S₂ و P₂ را که در زمان T₂ برای هر یک از دو گروه اندازه گیری شده است را نمی توان تاثیر روش درمان دانست؛ زیرا در ابتدا دو گروه در نقطه ی یکسانی قرار نداشته اند. روش تفاوت در اختلافات ابتدا تفاوت به هنجار را برای متغیر خروجی در بین دو گروه اندازه گیری می کند که این تفاوت به هنجار برابر است با فاصله ای که بین گروه درمان و کنترل در صورت عدم دریافت روش درمانی توسط گروه درمان، وجود می داشته است. این فاصله با خط Q در شکل نمایش داده شده است. حال می توان تاثیر روش درمان را برابر فاصله ی بین خروجی به هنجار و خروجی مشاهده شده دانست. (فاصله ی Q تا P₂)

• 

تعریف تفصیلی

رابطه ی زیر را در نظر بگیرید:

$$y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I+\varepsilon _{it}$$

که در آن:

• $y_{it}$ وضعیت متغیر وابسته مربوط به فرد $i$ در زمان $s(i)$ است،
• $s(i)$ نشان دهنده گروهی است که فرد $i$ متعلق به آن گروه است،
• $I(\dots )$ شاخصی ساختگی است که زمانی که عبارت منطقی داخل آن برقرار باشد مقدار آن 1 و در غیر اینصورت مقدار آن صفر است،
• $\gamma _{s}$ برابر عرض از مبدا در نمودار $Y$ بر زمان برای گروه $s(i)$ می باشد،
• $\lambda _{t}$ برابر زمانی است که هر دو گروه مطابق با فرض روند موازی -که در ادامه توضیح داده می شود- به اشتراک گذاشته اند،
• $\delta$ تاثیر درمان است و
• $\varepsilon _{it}$ بیانگر خطاست.

حال می خواهیم مقدار تاثیر درمان را به صورت متوسط محاسبه کنیم. برای این منظور میانگین متغیر وابسته و شاخص ساختگی را با توجه به گروه و زمان، در نظر می گیریم:

${\begin{aligned}n_{s}&={\text{ number of individuals in group }}s\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s}(i)\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\D_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}}),\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}$

برای سادگی فرض می کنیم که $s$ و $t$ تنها مقادیر 1 و 2 را می پذیرند. در اینصورت خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}$

با فرض اینکه $\operatorname {E} [\,\varepsilon \mid X\,]=0$ باشد، خواهیم داشت:

$$\operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).$$

اگر گروه 2 گروه درمان و زمان پس از اعمال روش درمان نیز $t=2$ باشد، $D_{22}=1$ و $D_{11}=D_{12}=D_{21}=0$ می شود. تاثیر درمان با این فرض برابر خواهد بود با:

$${\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})$$

فرضیات

تمام فروضی که در روش حداقل مربعات معمولی برقرار است در این روش نیز برقرار خواهد بود. از جمله اینکه امید ریاضی شرطی خطا در آن برابر صفر است. فرض دیگری که در این روش مفروض است، فرضی با عنوان روند موازی است. این فرض بیان می کند که شیب خط برای هر دو گروه درمان و کنترل با یکدیگر برابر است (شکست در تجزیه (تابع ناشناختهٔ '\eq'): {\displaystyle \lambda_{22} - \lambda_{21} \eq \lambda_{12} - \lambda_{11}} ). این فرض کمی دور از واقعیت است و برای آن که احتمال برقرار بودن این شرط را بالا ببرند، در کنار این روش از روش آماری دیگری با عنوان تطبیق استفاده می کنند.

جستارهای وابسته

• آزمایش طبیعی
• طرح آزمایش
• استقلال از گزینه‌های نامربوط
• متغیر پنهان