ماتریس کوواریانس

ماتریس کوورایانس یا هم‌وردایی، ماتریسی است که اعضای آن همبستگی بین پارامترهای مختلف سیستم را نشان می‌دهند.

تعریف

اگر اعضای بردار X، متغیرهای تصادفی ما باشند:

$X={\begin{bmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}$

ماتریس کوورایانس، ماتریسی است که درایه‌های آن به طریق ذیل بدست می‌آیند:

$\Sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},X_{j})=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}}$

که ماتریس زیر به دست می‌آید:

$\Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}.$

که در آن E امید ریاضی می باشد.

خصوصیات

• ماتریس کوواریانس باید مثبت معین باشد.