اصل برتراند

قضیه برتراند- چبیشف یکی از قضای مهم اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند برای هر عدد طبیعی بزرگتر از ۳ مانند n عددی اول مانند p هست به طوری که

$n<p<2n-2$

این قضیه را برتراند در سال ۱۸۴۵ بیان و چبیشف در سال ۱۸۵۰ ثابت کرد.

قضیه برتراند- چبیشف را همین‌طور، می‌توان با $\pi (x)$ یا همان تابع شمارش اعداد اول بیان کرد:

$\pi (x)-\pi (x/2)\geq 1$

(برای هر $x\geq 2$)

قضیه اعداد اول

بر اساس قضیه اعداد اول با میل کردن x به سمت بی نهایت تعداد اعداد اول کوچکتر از x تقریبا برابر با x/ln x می شود. با جای گذاری 2x به جای x می بینیم تعداد اعداد اول کوچکتر از 2x تقریبا دو برابر تعداد اعداد اول کوچکتر از x است. ( x/ln x و x/ln 2x در مقادیر بزرگ x تقریبا معادل اند.) بنابر این تعداد اعداد اول بین n و 2n تقریبا با (n/ ln (n برابر است. ( برای مقادیر بزرگ n ) پس در این فاصله تعداد اعداد اول بسیار بیشتری نسبت به تعدادی که با قضیه چبیشف بدست می آید وجود دارد که نشان می دهد قضیه چبیشف در مقایسه با قضیه اعداد اول ضعیف تر است. اما قضیه اعداد اول قضیه ای مشکل تر است و اثبات قضیه برتراند راحت تر است و البته نتایج بهتری در مقادیر کوچک n دارد.

قضیه لژاندر نیز مشابه قضیه چبیشف است ولی تا به حال کسی موفق به اثبات یا رد آن نشده است. بر اساس این قضیه برای هر عدد طبیعی