پرش به محتوا

ضرب هادامار (ماتریس‌ها)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

ضرب هادامار (انگلیسی: Hadamard product) یا ضرب درایه‌ای ریاضیات، عمل دوتایی است که دو ماتریس با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید می‌کند که هر درایهٔ آن حاصلضرب درایه‌های آن دو ماتریس است. این ضرب را نباید با حاصلضرب رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی ژاک آدامار، یا ریاضیدان آلمانی ایسای شور نامگذاری شده‌است.[۱]

ضرب هادامار.

تعریف

[ویرایش]

برای دو ماتریس و که دارای ابعاد هستند،[۲] ضرب هادامار آنها که با و یا [۳][۴][۵][۶] نمایش داده می‌شود ماتریسی با همان ابعاد (یعنی ) است که مقادیر آن به نحو پایین محاسبه می‌شوند:

برای ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشده‌است.

مثال

[ویرایش]

برای دو ماتریس و پایین که ابعاد دارند ضرب هادامار آنها برابر است با:

ویژگی‌ها

[ویرایش]
  • اگر و ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند رتبه ضرب هادامار از ضرب رتبه‌های دو ماتریس بیشتر نیست:

  • اگر و و ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند و یک عدد حقیقی باشید آنگاه:

  • برای بردارهای و و ماتریسهای قطری آنها و روابط پایین برقرار است:[۷]

  • برای مقادیر ویژه ماتریسهای و رابطه پایین برقرار است، در اینجا -امین مقدار ویژه ماتریس است:[۸]

منابع

[ویرایش]
  1. "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
  2. Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). buzzard.ups.edu. Retrieved September 6, 2020.{{cite web}}: نگهداری CS1: url-status (link)
  3. "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
  4. "Hadamard product - Machine Learning Glossary". machinelearning.wtf.
  5. "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". Mathematics Stack Exchange.
  6. "Element-wise (or pointwise) operations notation?". Mathematics Stack Exchange.
  7. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix analysis. Cambridge University Press.
  8. Hiai, Fumio; Lin, Minghua (February 2017). "On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product". Linear Algebra and Its Applications. 515: 313–320. doi:10.1016/j.laa.2016.11.017.