ضرب هادامار (ماتریس‌ها)

ضرب هادامار (انگلیسی: Hadamard product) یا ضرب درایه‌ای ریاضیات، عمل دوتایی است که دو ماتریس با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید می‌کند که هر درایهٔ $ij$ آن حاصلضرب درایه‌های $ij$ آن دو ماتریس است. این ضرب را نباید با حاصلضرب رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی ژاک آدامار، یا ریاضیدان آلمانی ایسای شور نامگذاری شده‌است.

ضرب هادامار.

تعریف

برای دو ماتریس $A$ و $B$ که دارای ابعاد $m\times n$ هستند، ضرب هادامار آنها که با $A\circ B$ و یا $A\odot B$ نمایش داده می‌شود ماتریسی با همان ابعاد (یعنی $m\times n$) است که مقادیر آن به نحو پایین محاسبه می‌شوند:

$(A\circ B)_{ij}=(A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.$

برای ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشده‌است.

مثال

برای دو ماتریس $A$ و $B$ پایین که ابعاد $3\times 3$ دارند ضرب هادامار آنها برابر است با:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}.$

ویژگی‌ها

• اگر $A$ و $B$ ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند رتبه ضرب هادامار از ضرب رتبه‌های دو ماتریس بیشتر نیست:

$\operatorname {rank} (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\leq \operatorname {rank} (\mathbf {A} )\operatorname {rank} (\mathbf {B} )$

• اگر $A$ و $B$ و $C$ ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند و $k$ یک عدد حقیقی باشید آنگاه:

${\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} ,\\&\left(k\mathbf {A} \right)\circ \mathbf {B} =\mathbf {A} \circ \left(k\mathbf {B} \right)=k\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} \right),\\&\mathbf {A} \circ \mathbf {0} =\mathbf {0} \circ \mathbf {A} =\mathbf {0} .\end{aligned}}$

• برای بردارهای $x$ و $y$ و ماتریسهای قطری آنها $D_{x}$ و $D_{y}$ روابط پایین برقرار است:

$\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\mathbf {y} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right),$

${\begin{aligned}\sum _{i}(A\circ B)_{ij}&=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}\\&=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.\end{aligned}}$

$\left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*}\right)\circ \mathbf {A} =\mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}$

• برای مقادیر ویژه ماتریسهای $A$ و $B$ رابطه پایین برقرار است، در اینجا $\lambda _{i}(A)$ $i$ -امین مقدار ویژه ماتریس $A$ است:

$\prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \mathbf {B} ),\quad k=1,\ldots ,n,$