اتحاد وندرموند
![]() | برای تأییدپذیری کامل این مقاله به منابع بیشتری نیاز است. (ژوئن ۲۰۱۷) |
اتحاد واندرموند، در ریاضیات یک اتحاد ترکیبیاتی است که نشان می دهد در صورتی که m,n,r اعداد صحیح نامنفی بوده و r کوچکتر مساوی از m و n باشد، آنگاه:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/RezMath4.jpg/220px-RezMath4.jpg)
این قضیه در قرن هجدهم توسط ریاضیدان الکساندر-توفیل وندرموند کشف شد و به همین دلیل، اتحاد واندرموند نامیده میشود.
اثبات ترکیبیاتی[ویرایش]
فرض کنید m عنصر در یک مجموعه و n عنصر در مجموعه دوم وجود داشته باشد. آنگاه تعداد روشهایی که میتوان r عنصر را از اجتماع این مجموعهها انتخاب کرد، برابر است با
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/RezMath2.jpg)
روش دیگر برای انتخاب r عنصر از اجتماع این مجموعهها این است که k عنصر از مجموعه اول و r-k عنصر از مجموعه دوم برداشته شود که k یک عدد صحیح ۰≤k≤r است. با استفاده از اصل ضرب، این کار را میتوان به
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/RezMath3.jpg)
حالت انجام داد. بنابراین این تعداد روشهای انتخاب r عنصر از اجتماع، همچنین برابر است با
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/RezMath4.jpg/220px-RezMath4.jpg)
که این تساوی اتحاد واندرموند را ثابت میکند.
نتایج[ویرایش]
اگر n یک عدد صحیح نامنفی باشد، آنگاه
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/RezMath5.jpg)
نتیجه بالا شکلی از اتحاد واندرموند با n=r=m است.
اثبات[ویرایش]
از اتحاد واندموند با n=r=m استفاده میکنیم. نتیجه میشود:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/RezMath6.jpg/220px-RezMath6.jpg)
تساوی آخر با استفاده از رابطه
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/RezMath7.jpg)
به دست آمدهاست.
منابع[ویرایش]
ریاضیات گسسته / تألیف کنت. اچ. روزن