قضیه اعداد اول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از نظریه اعداد اول)
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در نظریه اعداد، قضیه اعداد اول (PNT) توزیع مجانبی اعداد اول بین اعداد صحیح مثبت را توصیف می کند. این قضیه ایده شهودی کم شدن چگالی اعداد اول در اعداد صحیح بزرگ را به صورت صوری و دقیق تر بیان می کند. قضیه اعداد اول به صورت مستقل و جداگانه توسط ژاک آدامار و چارلز پوسین در 1896 با استفاده از ایده های معرفی شده از سوی برنارد ریمان (بخصوص تابع زتای ریمان) اثبات شد.

اولین توزیع اینچنینی که پیدا شد بود که در آن تابع شمارنده تعداد اعداد اول و لگاریتم طبیعی عدد است. بدین معنی که با بزرگ شدن به میزان کافی، احتمال این که یک عدد صحیح تصادفی کوچکتر مساوی اول باشد بسیار به نزدیک است. بنابراین، احتمال اول بودن یک عدد صحیح با حداکثر رقم (برای های به اندازه کافی بزرگ) حدوداً نصف عدد صحیح تصادفی با حداکثر رقم است. به عنوان مثال، در میان اعداد صحیح مثبت با حداکثر 1000 رقم، حدود یک عدد از هر 2300 تا اول است ()، در حالی که در میان اعداد صحیح با حداکثر 2000 رقم، حدود یکی از هر 4600 تا اول هستند (). به بیان دیگر، میانگین شکاف بین اعداد اول پشت سر هم در میان عدد صحیح (از یک تا ) حدود است. [۱]

قضیه[ویرایش]

اگر تعداد اعداد اول کمتر از باشد

آنگاه

بررسی قضیه[ویرایش]

10 4 0.921 2.500
102 25 1.151 4.000
103 168 1.161 5.952
104 1,229 1.132 8.137
105 9,592 1.104 10.425
106 78,498 1.084 12.740
107 664,579 1.071 15.047
108 5,761,455 1.061 17.357
109 50,847,534 1.054 19.667
1010 455,052,511 1.048 21.975
OEIS A006880 A057835

تعمیم قضیه[ویرایش]

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

که در آن تابع ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول

اثبات تعمیم قضیه[ویرایش]

می دانیم:

می دانیم توابع و معکوس هم هستند. یعنی:

در نتیجه می توان با حل معادله تابع را یافت.

می دانیم

پس با حل معادله می توان هم ارزی برای یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

اما باید توجه داشت چون به جای از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

در نتیجه:


منابع[ویرایش]

  1. Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. p. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.