قضیه اعداد اول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از نظریه اعداد اول)
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه اعداد اول (به انگلیسی: prime number theorem) نام نظریه ای بسیار اساسی در بخش نظریه اعداد ریاضی و اعداد اول که نقش بسیار مهمی در پیشبرد نظریه اعداد را ایفا می کند.

قضیه[ویرایش]

اگر تعداد اعداد اول کمتر از باشد

آنگاه

بررسی قضیه[ویرایش]

10 4 0.921 2.500
102 25 1.151 4.000
103 168 1.161 5.952
104 1,229 1.132 8.137
105 9,592 1.104 10.425
106 78,498 1.084 12.740
107 664,579 1.071 15.047
108 5,761,455 1.061 17.357
109 50,847,534 1.054 19.667
1010 455,052,511 1.048 21.975
OEIS A006880 A057835

تعمیم قضیه[ویرایش]

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

که در آن تابع ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول

اثبات تعمیم قضیه[ویرایش]

می دانیم:

می دانیم توابع و معکوس هم هستند. یعنی:

در نتیجه می توان با حل معادله تابع را یافت.

می دانیم

پس با حل معادله می توان هم ارزی برای یاقت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

اما باید توجه داشت چون به جای از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

در نتیجه:

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Prime number theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.