تبدیل لاپلاس معکوس

اگر $F(s)$ تبدیل لاپلاس تابع $f(t)$ باشد یعنی ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$، آنگاه $f(t)$ را تبدیل لاپلاس معکوس $F(s)$ می‌نامند و به صورت $f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{F(s)\}$ نمایش می‌دهند.

تبدیل لاپلاس معکوس را می‌توان با استفاده از انتگرال مختلط زیر که به انتگرال برومویچ یا انتگرال فوریه–ملین مشهور است محاسبه کرد:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

که در آن $F(s)$ یک تابع تحلیلی با متغیر مختلط $s$ و $\gamma$ یک ثابت حقیقی است. $\gamma$ به گونه‌ای انتخاب می‌شود که همهٔ نقاط تکین تابع $F(s)$ در سمت چپ خط ${\mathcal {Re}}(s)=\gamma$ قرار بگیرند.

تبدیل لاپلاس معکوس همانند تبدیل لاپلاس یک تبدیل خطی است، یعنی:

${\mathcal {L^{-1}}}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha {\mathcal {L^{-1}}}\{F(s)\}+\beta {\mathcal {L^{-1}}}\{G(s)\}$

جستارهای وابسته

• قضیه مانده

منابع

• Zill, D.; Cullen, M. (2008). Differential Equations with Boundary-Value Problems (به انگلیسی). Cengage Learning. Retrieved 2015-04-15.
• "Laplace Transform -- from Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld (به انگلیسی). 2002-03-31. Retrieved 2015-04-15.{{cite web}}: نگهداری یادکرد:تاریخ و سال (link)
• Driggers, R.G. (2003). Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. Dekker Encyclopedias Series (به انگلیسی). Marcel Dekker. Retrieved 2015-04-15.
• "Bromwich Integral -- from Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld (به انگلیسی). 2015. Retrieved 2015-04-15.