چندوجهی انعطاف‌پذیر

چندوجهی استفن، ساده‌ترین چندوجهی انعطاف‌پذیر غیر خود متقاطع

در هندسه، چندوجهی انعطاف‌پذیر (به انگلیسی: Flexible polyhedron) به سطحی چندوجهی بدون هیچ ضلع مرزی گفته می‌شود که می‌توان شکل آن را به‌طور مداوم تغییر داد، در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. قضیه صلبیت کوشی نشان می‌دهد که در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز صادق است).

اولین نمونه‌های چندوجهی انعطاف‌پذیر که اکنون هشت‌وجهی‌های بریکار نامیده می‌شود، توسط رائول بریکار (۱۸۹۷) کشف شد. آنها سطوح خود متقاطع ایزومتریک به یک هشت‌وجهی بودند. اولین نمونه از سطح انعطاف‌پذیر غیر خود متقاطع در$\mathbb {R} ^{3}$، کره کانلی، توسط رابرت کانلی (۱۹۷۷) کشف شد. چندوجهی استفن یکی دیگر از چندوجهی‌های انعطاف‌پذیر غیر خود متقاطع است که از هشت وجهی بریکارد الهام گرفته‌است.

حدس بیلوز

در اواخر دهه ۱۹۷۰ کانلی و دنیس سالیوان حدس بیلوز را فرموله کرده و بیان کردند که حجم چندوجهی انعطاف‌پذیر تحت انعطاف‌پذیری ناوردا است. این حدس در سال ۱۹۹۷ اثبات شد.

تعمیم‌ها

۴-پلی توپ‌های انعطاف‌پذیر در فضای اقلیدسی ۴ بعدی و فضای هذلولی ۳ بعدی توسط هلموت استاچل (۲۰۰۰) مورد مطالعه قرار گرفت. در ابعاد $n\geq 5$، پلی توپ‌های انعطاف‌پذیر توسط گایفولین (۲۰۱۴) ساخته شده‌اند.

منابع

فهرست منابع

• Alexander, Ralph (1985), "Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I", Transactions of the American Mathematical Society, 288 (2): 661–678, doi:10.2307/1999957, JSTOR 1999957, MR 0776397.
• Alexandrov, Victor (2010), "The Dehn invariants of the Bricard octahedra", Journal of Geometry, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989, doi:10.1007/s00022-011-0061-7, MR 2823098.
• Bricard, R. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé", J. Math. Pures Appl., 5 (3): 113–148, archived from the original on 2012-02-16, retrieved 2008-07-27
• Connelly, Robert (1977), "A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47 (47): 333–338, doi:10.1007/BF02684342, ISSN 1618-1913, MR 0488071
• Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke (1997), "The bellows conjecture", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821, MR 1447981
• Gaifullin, Alexander A. (2014), "Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 286 (1): 77–113, arXiv:1312.7608, doi:10.1134/S0081543814060066, MR 3482593.
• Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S. (2018), "Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi:10.1134/S0371968518030068, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642.
• Sabitov, I. Kh. (1995), "On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, MR 1339277
• Stachel, Hellmuth (2006), "Flexible octahedra in the hyperbolic space", in A. Prékopa; et al. (eds.), Non-Euclidean geometries (János Bolyai memorial volume), Mathematics and its Applications, vol. 581, New York: Springer, pp. 209–225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283, doi:10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN 978-0-387-29554-1, MR 2191249.
• Stachel, Hellmuth (2000), "Flexible cross-polytopes in the Euclidean 4-space" (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 4 (2): 159–167, MR 1829540.
• Connelly, Robert (1979), "The rigidity of polyhedral surfaces", Mathematics Magazine, 52 (5): 275–283, doi:10.2307/2689778, JSTOR 2689778, MR 0551682.
• Connelly, Robert (1981), "Flexing surfaces", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 79–89, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10, ISBN 978-1-4684-6688-1.
• Connelly, Robert (1993), "Rigidity" (PDF), Handbook of convex geometry, Vol. A, B, Amsterdam: North-Holland, pp. 223–271, MR 1242981.
• Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), "23.2 Flexible polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 345–348, doi:10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878.
• Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), "Lecture 25. Flexible polyhedra", Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 345–360, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979