رز (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
یک رز با k = 7 گلبرگ
یک رز با 8 گلبرگ (k=4).

در ریاضیات، رز (به انگلیسی: Rose) یا منحنی رودونی (به انگلیسی: Rhodonea curve) یک موج سینوسی رسم شده در مختصات قطبی است.

تعریف ریاضی[ویرایش]

بنا بر تشابه منحنی های رز را می توان با معادله ای در مختصات قطبی به شکل زیر نمایش داد :

\!\,r=\cos(k\theta)

و یا می توان آن را به صورت دو معادله در مختصات دکارتی نمایش داد

\!\,x=\cos(kt)\sin(t)
\!\,y=\cos(kt)\cos(t)

مساحت[ویرایش]

برای رزی که معادله قطبی آن به شکل زیر باشد

r=a \cos (k\theta)\,

و k عدد صحیح مثبت باشد، مساحت وقتی k فرد باشد، برابر است با


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

و وقتی k زوج باشد :


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]