حلقه نیم-اول

نمودار هسه (به انگلیسی: Hesse Diagram) بخشی از شبکه ایده‌آل‌های اعداد صحیح $\mathbb {Z}$. گره‌های بنفش نشانگر ایده‌آل‌های اولند. گره‌های بنفش و سبز نشانگر ایده‌آل‌های نیم-اول (به انگلیسی: semi-Prime Ideals)، و گره‌های بنفش و آبی نشانگر ایده‌آل‌های اولیه (به انگلیسی: Primary Ideals).

در نظریه حلقه‌ها، ایده‌آل‌های نیم-اول (به انگلیسی: Semiprime Ideals) و حلقه‌های نیم-اول (به انگلیسی: Semiprime Rings) تعمیم ایده‌آل‌های اول اند. در جبر جابجایی، به ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل‌های رادیکال هم می‌گویند.

به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام ایده‌آل‌هایی به شکل $n\mathbb {Z}$ اند که در آن $n$ یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این، $30\mathbb {Z}$ یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون $30=2\times 3\times 5$ و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما $12\mathbb {Z}$ نیم-اول نیست (چون $12=2^{2}\times 3$، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است).

دسته حلقه‌های نیم-اول شامل حلقه‌های نیم-ابتدایی، حلقه‌های اول و حلقه‌های تحویل یافته‌است.

بسیاری از تعاریف و گزاره‌های این مقاله در (Lam 1999) و (Lam 2001) ظاهر شده‌اند.

تعاریف

برای یک حلقه جابجایی چون $R$، ایده‌آل محضی چون $A$ را یک ایده‌آل نیم-اول گویند اگر $A$ در هرکدام از دو تعریف معادل زیر صدق کند:

• اگر از $x$ در $R$ و برای عدد صحیح مثبتی چون $k$ از $x^{k}$ در $A$ نتیجه شود که $x$ هم در $A$ باشد.
• اگر $y$ در $R$ باشد اما در $A$ نباشد، آنگاه تمام توان‌های صحیح مثبت $y$ هم در $A$ نباشند.

شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است.

همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول $A$ در یک حلقه $R$ با هم معادلند:

• برای هر ایده‌آل $J$ از $R$، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k}\subseteq A$ آنگاه $J\subseteq A$.
• برای هر ایده‌آل راست چون $J$ از $R$، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k}\subseteq A$ آنگاه $J\subseteq A$.
• برای هر ایده‌آل چپ چون $J$ از $R$، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k}\subseteq A$ آنگاه $J\subseteq A$.
• برای هر $x$ در $R$، اگر $xRx\subseteq A$، آنگاه $x$ در $A$ خواهد بود.

در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی $S$ از یک حلقه $R$ را n-دستگاه (به انگلیسی: n-system) گویند اگر برای هر $s$ در $S$، وجود داشته باشد یک $r$ در $R$ چنان که $srs$ در $S$ باشد. با این نمادگذاری ها، تعریف معادل دیگری را می توان به تعاریف فوق اضافه کرد:

• $R\setminus A$ یک n-دستگاه است.

حلقه $R$ را حلقه نیم-اول گوییم اگر ایده‌آل صفر آن یک ایده‌آل نیم-اول باشد. در حالت جابجایی، این معادل است با این که $R$ یک حلقه تحویل یافته باشد، چون $R$ هیچ عضو پوچتوان ناصفری ندارد. در حالت ناجابجایی، این حلقه هیچ ایده‌آل راست پوچتوان ناصفری ندارد.بنابر این، در حالی که یک حلقه کاهش یافته همیشه نیم-اول است، عکس آن صحیح نیست.

منابع

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, MR 1838439

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Semiprime Ring». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.