چندوجهی انعطاف‌پذیر

چندوجهی استفن، ساده ترين چندوجهى انعطاف پذير غير خود متقاطع

در هندسه، چندوجهی انعطاف‌پذیر (به انگلیسی: Flexible polyhedron) به سطحى چندوجهی بدون هیچ ضلع مرزی گفته می شود که می توان شکل آن را به طور مداوم تغییر داد در حالی که اشکال تمام وجه های آن بدون تغییر است.قضیه صلبیت کوشی نشان می دهد که در بعد ٣ چنین چندوجهی اى نمی تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز صادق است).

اولین نمونه های چندوجهی انعطاف پذیر که اکنون هشت وجهى هاى بریکار نامیده می شود ، توسط رائول بریکار (١٨٩٧) کشف شد. آنها سطوح خود متقاطع ایزومتریک به یک هشت‌وجهی بودند. اولین نمونه از سطح انعطاف پذیر غیر خود متقاطع در$\mathbb {R} ^{3}$ ، كره کانلی ، توسط رابرت کانلی (١٩٧٧) کشف شد. چندوجهی استفن یکی دیگر از چندوجهی های انعطاف پذیر غیر خود متقاطع است که از هشت وجهى بریكارد الهام گرفته است.

حدس بيلوز

در اواخر دهه ١٩٧٠ کانلی و دنیس سالیوان حدس بيلوز را فرموله كرده و بیان کردند که حجم چندوجهی انعطاف پذیر تحت انعطاف پذیری ناوردا است. اين حدس در سال ١٩٩٧ إثبات شد.

تعميم ها

٤-پلی توپ هاى انعطاف پذیر در فضای اقلیدسی ٤ بعدی و فضای هذلولی ٣ بعدی توسط هلموت استاچل (2000) مورد مطالعه قرار گرفت. در ابعاد $n\geq 5$، پلی توپ های انعطاف پذیر توسط گایفولین (2014) ساخته شده اند.

منابع

فهرست منابع

• Alexander, Ralph (1985), "Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I", Transactions of the American Mathematical Society, 288 (2): 661–678, doi:10.2307/1999957, JSTOR 1999957, MR 0776397.
• Alexandrov, Victor (2010), "The Dehn invariants of the Bricard octahedra", Journal of Geometry, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989, doi:10.1007/s00022-011-0061-7, MR 2823098.
• Bricard, R. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé", J. Math. Pures Appl., 5 (3): 113–148, archived from the original on 2012-02-16, retrieved 2008-07-27
• Connelly, Robert (1977), "A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47 (47): 333–338, doi:10.1007/BF02684342, ISSN 1618-1913, MR 0488071
• Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke (1997), "The bellows conjecture", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821, MR 1447981
• Gaifullin, Alexander A. (2014), "Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 286 (1): 77–113, arXiv:1312.7608, doi:10.1134/S0081543814060066, MR 3482593.
• Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S. (2018), "Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi:10.1134/S0371968518030068, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642.
• Sabitov, I. Kh. (1995), "On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, MR 1339277
• Stachel, Hellmuth (2006), "Flexible octahedra in the hyperbolic space", in A. Prékopa; et al. (eds.), Non-Euclidean geometries (János Bolyai memorial volume), Mathematics and its Applications, vol. 581, New York: Springer, pp. 209–225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283, doi:10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN 978-0-387-29554-1, MR 2191249.
• Stachel, Hellmuth (2000), "Flexible cross-polytopes in the Euclidean 4-space" (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 4 (2): 159–167, MR 1829540.
• Connelly, Robert (1979), "The rigidity of polyhedral surfaces", Mathematics Magazine, 52 (5): 275–283, doi:10.2307/2689778, JSTOR 2689778, MR 0551682.
• Connelly, Robert (1981), "Flexing surfaces", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 79–89, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10, ISBN 978-1-4684-6688-1.
• Connelly, Robert (1993), "Rigidity" (PDF), Handbook of convex geometry, Vol. A, B, Amsterdam: North-Holland, pp. 223–271, MR 1242981.
• Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), "23.2 Flexible polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 345–348, doi:10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878.
• Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), "Lecture 25. Flexible polyhedra", Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 345–360, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979