تابع منگولد: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۴ فوریهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۰۷:۴۶

در ریاضیات، تابع منگلولد نوعی تابع حسابی است که به افتخار ریاضیدان آلمانی هانس ون منگلولد نامیده شد. این تابع، مثالی از توابع حسابی است که نه ضربی و نه جمعی می باشد.

تعریف

تابع منگلولد را با نماد $\Lambda (n)$ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ for some prime }}p{\mbox{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

مقادیر $\Lambda (n)$ برای نه تا از اولین اعداد صحیح مثبت (یعنی اعداد طبیعی) بدین صورت است:

0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,

که مرتبط با (دنباله A014963 در OEIS) است.

تابع جمع منگلد $\psi$ ، که به آن تابع چبیشف دوم هم می گویند به این صورت تعریف می شود:

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).

فون منگولد اثبات استواری برای فرمول دقیق $\psi (x)$ مربوط به جمع صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان ارائه نود. این دستاورد بخش مهمی از اولین اثبات قضیه اعداد اول بود.

خواص

برای تابع منگولد اتحاد زیر برقرار است:^[۱]^[۲]

\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).

جمع روی کل اعداد صحیح $d$ که $n$ را می شمارند گرفته شده است. این اتحاد توسط قضیه بنیادی حساب اثابت شده است، چرا که جملاتی که توان‌هایی از اعداد اول نیستند برابر صفر است. به عنوان مثال، حالتی که $n=12=2^{2}\times 3$ را در نظر بگیرید. آنگاه:

{\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}

براساس معکوس گیری موبیوس داریم:^[۲]^[۳]^[۴]

\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .

منابع

↑ Apostol (1976) p.32
↑ ^۲٫۰ ^۲٫۱ Tenenbaum (1995) p.30
↑ Apostol (1976) p.33
↑ Schroeder, Manfred R. (1997). Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity. Springer Series in Information Sciences. Vol. 7 (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Von Mangoldt function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

[Apo32-1] Apostol (1976) p.32

[Ten30-2] ۲٫۰ ^۲٫۱ Tenenbaum (1995) p.30

[Apo33-3] Apostol (1976) p.33

[4] Schroeder, Manfred R. (1997). Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity. Springer Series in Information Sciences. Vol. 7 (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

@@ خط ۱۹: / خط ۱۹: @@
 فون منگولد اثبات استواری برای فرمول دقیق <math>\psi(x)</math> مربوط به جمع صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان ارائه نود. این دستاورد بخش مهمی از اولین اثبات قضیه اعداد اول بود.
+==خواص==
-== روابط تابع ==
+برای تابع منگولد اتحاد زیر برقرار است:<ref name=Apo32>Apostol (1976) p.32</ref><ref name=Ten30>Tenenbaum (1995) p.30</ref>
-<math>\ln(n)  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,</math>
+:<math>\log(n) = \sum_{d \mid n} \Lambda(d).</math>
+جمع روی کل اعداد صحیح <math>d</math> که <math>n</math> را می شمارند گرفته شده است. این اتحاد توسط قضیه بنیادی حساب اثابت شده است، چرا که جملاتی که توان‌هایی از اعداد اول نیستند برابر صفر است. به عنوان مثال، حالتی که <math>n=12=2^2\times 3</math> را در نظر بگیرید. آنگاه:
-برای مثال:
+:<math>\begin{align}
-<math>\sum_{d\,\mid\,12} \Lambda(d) = \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) </math>
-::: <math>= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(2^2) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda(2^2 \times 3) </math>
+\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\
+&= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\
-::: <math>= 0 + \log 2 + \log 3 + \log 2 + 0 + 0 \,\! </math>
-::: <math>=\log (2 \times 3 \times 2) = \log 12. \,\! </math>
+&= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\
+&=\log (2 \times 3 \times 2) \\
+&= \log(12).
+\end{align}</math>
+براساس معکوس گیری موبیوس داریم:<ref name=Ten30/><ref name=Apo33>Apostol (1976) p.33</ref><ref>{{cite book | last=Schroeder | first=Manfred R. | title=Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity | edition=3rd | zbl=0997.11501 | series=Springer Series in Information Sciences | volume=7 | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-62006-0 }}</ref>
+:<math>\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d) \ . </math>
 == منابع ==