علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q_پوکهمر، که به آن q_فاکتوریل جابجا شده نیز میگویند، اینگونه تعریف میشود:

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$

و

$(a;q)_{0}=1$

علامت q_پوکهمر، یک بلوک اصلی در ساخت q_آنالوگ هاست. برای مثال در نظریه سری های ابرهندسی، نقش اصلی را در نظریه تعمیم یافته آن دارد. بر خلاف علامت پوکهمر ساده، علامت q_پوکهمر قابل تعمیم است به یک ضرب نامتناهی:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$

این یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در فضای مختلط) است و میتواند به عنوان یک سری توانی ساده در نظر گرفته شود. حالت خاص زیر:

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

به عنوان تابع اویلر شناخته شده و در شاخه های نظریه اعداد و ترکیبیات و همچنین در نظریه ی فرم های مدولار کاربرد دارد.

قضیه ها

حاصل ضرب متناهی میتواند به صورت حاصل ضرب نامتناهی بیان شود:

$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$

منابع

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. شابک ‎۰−۵۲۱−۸۳۳۵۷−۴.
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, شابک ‎۰۸۵۳۱۲۴۹۱۴, شابک ‎۰۴۷۰۲۷۴۵۳۰, شابک ‎۹۷۸−۰۴۷۰۲۷۴۵۳۸
• M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
• Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۲۵۵۲۹۳,and

شابک ‎۰۳۸۷۲۵۵۲۹X Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۷۷۷۶۵۸ and

شابک ‎۰۳۸۷۷۷۷۶۵۲