قضیه پیک

i = 7, b = 8, A = i + b/2 − 1 = 10

The triangle with vertices at the lower left, lower right, and upper right points has i = 12 and b = 14, giving by Pick's theorem A = i + b/2 − 1 = 18; this is confirmed by the triangle area formula 1/2 × base × height = 1/2 × 9 × 4 = 18.

چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحه ی نقطه گذاری شده با فاصله ی مساوی می سازیم.

یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی عددی صحیح است.

قضیه ی پیک فرمولی است که با آن می توان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد.این فرمول کار محاسبه را راحت می کند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی اضلاع چند ضلعی می دهد.

برای محاسبه ی مساحت یک چند ضلعی به مساحت A و نقاط داخلی i و نقاط مرزی b (نقاط روی اضلاع و یا رئوس) فرمول زیر را داریم:

$A=i+{\frac {b}{2}}-1.$

در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند ( i = 7 و b = 8 )پس:

A = 7 + 8/2 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10

پس مساحت 10 واحد مربع است.

قضیه ی پیک تنها برای چندضلعی های ساده صادق است و برای چند ضلعی هایی که خود را قطع می کنند یا دارای حفره می باشند باید آن ها را به چند ضلعی های ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیما روی چند ضلعی های غیر ساده درست عمل نمی کند.

این فرمول اولین بار توسط گئورگ الکساندر پیک بیان شد.او در سال 1899 این فرمول را بیان کرد. با کمک چهار وجهی ریو نشان داده اند که قضیه ی پیک هیچ مشابهی در فضای سه بعدی ندارد.(فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد.)

با این وجود Ehrhart polynomials تعمیمی از قضیه ی پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط می شود.

اثبات

قضیه را با استفاده از استقرا اثبات می کنیم. چند ضلعی P و مثلث T را در نظر بگیرید به طوریکه P و Tیک ضلع مشترک داشته باشند. و قضیه برای هر دو به تنهایی درست باشد.

می خولهیم نشان دهیم قضیه برای چندضلعی (که با اضافه کردن T به P به وجود می آید) نیز درست است.

از آنجایی که P و T یک ضلع مشترک دارند پس نقاط داخلی برابر می شود با نقاط داخلی P و T به اضافه ی نقاط روی ضلع مشترک منهای دو (که آن دو نقطه نقاط ایتدا و انتهای ضلع مشترک هستند که روی مرز PT قرار می گیرند.) پس:

$i_{PT}=i_{P}+i_{T}+(c-2)$

و همینطور :

$b_{PT}=b_{P}+b_{T}-2(c-2)-2.$

با ساده کردن عبارات بالا به نتایج زیر می رسیم:

$i_{P}+i_{T}=i_{PT}-(c-2)$

و

$b_{P}+b_{T}=b_{PT}+2(c-2)+2.$

از آنجایی که ما فرض کرده بودیم قضیه برای مثلث T و چند ضلعی P درست است پس:

${\begin{aligned}A_{PT}&=A_{P}+A_{T}\\&=\left(i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1\right)+\left(i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1\right)\\&=i_{P}+i_{T}+{\frac {b_{P}+b_{T}}{2}}-2\\&=i_{PT}-(c-2)+{\frac {b_{PT}+2(c-2)+2}{2}}-2\\&=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1.\end{aligned}}$

و نتیجه می گیریم قضیه برای PT نیز برقرار است پس به حکم کلی زیر می رسیم:

اگر قضیه برای چندضلعی ساخته شده با n مثلث درست باشد برای چند ضلعی ساخته شده با n + 1 مثلث نیز درست است.و واضح است که هر چند ضلعی را می توان به چند مثلث افراز کرد.برای اتمام اثبات استقرایی باید نشان دهیم که قضیه روی هر مثلثی نیز صادق است.این قسمت از اثبات را نیز با مراحل زیر انجام می دهیم.

• اثبات می کنیم فرمول برای مربع واحد درست است.(طول و عرض راس های مربع باید عدد صحیح باشد)
• سپس اثبات می کنیم که فرمول برای هر مستطیل با اضلاع موازی با محور ها نیز درست است.
• حالا با نصف کردن مستطیل از قطرش و تبدیل آن به مثلث قائم الزاویه اثبات می کنیم که قضیه برای مثلث های قائم الزاویه نیز درست است.
• حالا با توجه به این که هر مثلث با شرایط قضیه را می توان به چند مثلث قائم الزاویه تبدیل کرد ثابت می کنیم قضیه برای هر مثلثی صادق است.

و بدین ترتیب قضیه اثبات می شود.

همچنین ببینید

• Integer points in convex polyhedra
• Steinhaus longimeter
• Farey sequence

لینک های خارجی

• Pick's Theorem (Java) at cut-the-knot
• Pick's Theorem
• Pick's Theorem proof by Tom Davis
• Pick's Theorem by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Pick's Theorem". MathWorld.