شبکه جهان‌کوچک

نمونه‌ای از شبکه جهان‌کوچک    درجه قطب‌ها بیشتر از سایر گره‌هاست.                         میانگین درجه= 3.833
میانگین طول کوتاه‌ترین مسیر بین دو راس = 1.803.
ضریب خوشگی = 0.522

گراف تصادفی
میانگین درجه = 2.833
میانگین طول کوتاه‌ترین مسیر بین دو راس = 2.109.
ضریب خوشگی = 0.167

یک شبکه جهان‌کوچک نوعی گراف است که در آن گره‌های زیادی با هم همسایه نیستند اما همسایگان هر کدام از گره‌ها با احتمال زیادی به هم متصل هستند و درنتیجه با تعداد گام کمی می‌توان از هر گره به گره دیگر رسید.شبکه‌ای را شبکه جهان‌کوچک می‌گوییم که فاصله معمول بین دو راس تصادفی از آن (L) ضریبی از لگاریتم تعداد کل گره‌ها در شبکه (N) باشد.:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4923042aa0384aed8ab3b1c38bffb40a5a265109

این در حالی است که ضریب خوشگی در این شبکه‌ها کوچک نیست. در علم شبکه‌های اجتماعی این ویژگی‌ها نشان دهنده پدیده جهان‌کوچک هستند که در آن غریبه‌ها با زنجیره کوتاهی از آشنایان به یک‌دیگر متصل می‌شوند. بسیاری از گراف‌های تجربی اثر جهان‌کوچک را در خود نشان داده‌اند, برای مثال, شبکه های اجتماعی, اینترنت, ویکی پدیا و شبکه های ژنی.

ویژگی‌های شبکه‌های جهان‌کوچک

شبکه‌های جهان‌کوچک تمایل دارند گروهک (زیرگراف‌ کامل) و شبه‌گروهک داشته باشند، زیر گراف‌هایی که بیشتر گره‌ها در آن دو‌به‌دو به هم وصل‌اند. این ویژگی از تعریف ضریب خوشگی بالا هم به دست می‌آید .دومین ویژگی گراف این شبکه این است که بیشتر جفت گره‌ها با حداقل یک مسیر کوتاه به هم متصل شده‌اند. این ویژگی هم از کم بودن میانگین طول کوتاه‌ترین مسیر بین دو گره به دست می‌آید.شبکه‌های جهان‌کوچک چند ویژگی دیگر را هم همراه با خود دارند.به طور معمول تعداد زیادی قطب (گره‌هایی با درجه و اتصال‌های زیاد) در شبکه وجود دارد.این قطب‌ها اتصال‌های مشترک برای شکل‌گیری کوتاه‌ترین مسیرها را تامین می‌کنند. در مقیاس کوچک، در شبکه جهان‌کوچک پروازهای هواپیمایی میانگین طول مسیر کم است زیرا بسیاری از مسیرهای پرواز از شهرهایی که قطب ( hub ) هستند می‌گذرد. این ویژگی معمولا با نسبت گره‌ها با تعداد اتصال‌های مشخص سنجیده می‌شود(توزیع درجه شبکه).شبکه‌هایی که تعداد گره قطب زیاد، نود‌های بیشتری با درجه زیاد خواهند داشت و در نتیجه توزیع درجه‌های آن‌ها در درجه‌های زیاد بالا خواهد بود که به آن شبکه با توزیع دم‌کلفت می‌گویند.

جهان‌کوچک بودن شبکه با یک ضریب، ${\displaystyle }$سنجیده می‌شود. این ضریب با مقایسه خوشگی و طول مسیر شبکه داده شده با یک گراف تصادفی معادل با میانگین درجه یکسان به دست می‌آید.

${\displaystyle }$

اگر ${\displaystyle }$ (C >> ${\displaystyle }$ و L ${\displaystyle }$) شبکه کوچک-جهان است

که در آن مشخصه طول مسیر  L و ضریب خوشگی C از شبکه مورد آزمایش محاسبه می‌شوند،  C_ℓ ضريب خوشگی و L_r مشخصه طول مسیر برای شبکه تصادفی معادل است.

R. Cohen و Havlin نشان دادند که  شبکه‌های مستقل از مقیاس ابر-جهان‌کوچک هستند. در این شبکه‌ها به دلیل وجود قطب‌ها کوتاه‌ترین مسیر به طور قابل توجهی کوچک می‌شود و مقیاس آن‌ها برابر می‌شود با:

${\displaystyle }$

نمونه هایی از شبکه‌های جهان‌کوچک

ویژگی های جهان‌کوچک در بسیاری از پدیده های دنیای واقعی یافت می‌شود؛ مثلا سایت‌های مواد غذایی، شبکه توزیع برق، شبکه سلول های عصبی مغز، شبکه رای دهندگان، شبکه تماس‌های تلفنی، شبکه نفوذ اجتماعی و.. . شبکه‌های فرهنگی و شبکه‌های روابط هم جهان‌کوچک ظاهر شده‌اند.

شبکه تعامل  تعامل پروتئین-پروتئین خواص جهان‌کوچک را دارند. همچنین شبکه های رونویسی که در آن گره ها ژن‌ها هستند و در صورتی به هم متصل‌اند که یک ژن تاثیر ژنتیکی بالا یا پایین بر روی دیگری داشته باشد، هم ویژگی‌های جهان‌کوچک دارند.

ساخت شبکه‌های جهان‌کوچک

مهم‌ترین ساز و کار ساخت شبکه جهان‌کوچک، استفاده از مدل واتز و استروگاتز است.

گراف‌های درجه–قطر  طوری ساخته می‌شوند که تعداد  همسایگان هر راس در شبکه محدود شود و در همین حال فاصله هر دو راس در شبکه ( قطر شبکه) به حداقل رسیده باشد. ساخت چنین شبکه جهان‌کوچکی انجام شده است به عنوان بخشی از تلاش برای پیدا کردن گراف‌های نزدیک به محدوده مور است.

جستارهای وابسته

• مدل باراباسی-البرت
• عدد دانبار
• عدد اردوش
• مدل اردوش-رنیی
• نظریه تراوش
• شبکه مستقل از مقیاس
• آزمایش دنیای کوچک
• شبکه اجتماعی
• مدل واتس و استروگاتز