ضرب با انگشتان: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۱۱ فوریهٔ ۲۰۱۹، ساعت ۱۶:۴۲

روشی که با استفاده از انگشتان دو دست می‌توان حاصل ضرب اعداد بزرگتر از ۵ را به دست آورد.^[۱]^[۲]

تاریخچه

اکثر باستانیان روش‌هایی را برای نمایش اعداد طبیعی به وسیله وضعیت‌های مختلف انگشتان ابداع کرده بودند. یونانی‌ها، رومی‌ها، مسلمان‌ها، هندی‌ها و بسیاری اقوام دیگر چنین روش‌هایی داشته‌اند. در اروپای قرون وسطی، نمایش اعداد به کمک انگشتان به عنوان زبان بین‌المللی برای ارتباط بین اقوام مختلف بسیار متداول بوده‌است. این زبان هنگام معامله در بازارهای بین‌المللی و موقعیت‌های دیگری که زبان مانعی بر سر راه ارتباط بود به کار می‌رفت. امروزه نیز اعداد انگشتی در مشرق زمین به همین منظور به کار می‌روند. از نمایش انگشتی اعداد، شکل‌هایی از محاسبه با انگشت به وجود آمد. این روش‌های محاسبه از شمارش ساده تا حالت‌های خاصی از ضرب را در برمی گیرند. برخی از این روش‌ها در قرون وسطی کاربرد عام داشته‌اند و یکی از این گونه روش‌ها تا اوایل قرن بیستم هم در برخی از نقاط روستایی روسیه و فرانسه به کار می‌رفت. این روش را گاهی ضرب روستایی اروپایی می‌نامند.^[۳]

روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۵ تا ۱۰

مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۸×۹ را به دست آوریم. ابتدا هر یک از این اعداد را به صورت جمعی از عدد ۵ می‌نویسیم.

۸=۵+۳ و ۹=۵+۴ بنابراین

8×9=(5+3)(5+4)

به همین دلیل ۴ انگشت یک دست و ۳ انگشت دست دیگر را می‌خوابانیم. انگشتهای خوابانده شده نشان دهنده تعداد دهگان حاصل ضرب می‌باشند که در این مثال برابر با ۷=۳+۴ می‌باشد؛ و رقم یکان این حاصل ضرب برابر با ۱×۲=۲ می‌باشد که ۲ انگشتهای باز یک دست و ۱ انگشت باز دست دیگر است.^[۴]

روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۱۱ تا ۱۵

مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۱۴×۱۳ را به دست آوریم. دو دست خود را طوری نگه می‌داریم که پشت آنها به روی خودمان باشد. در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از ۱۱ تا ۱۵ شماره گذاری می‌کنیم. دو انگشتی که عدد ۱۳ و عدد ۱۴ را در هر دو دست نشان می‌دهند، روی هم قرار می‌دهیم؛ و انگشتان بعد از این دو عدد را می‌خوابانیم. حاصل ضرب ۱۴×۱۳ برابر است با مجموع حاصل ضرب تعداد انگشتانی که باز هستند در ۱۰ به اضافه مجموع انگشتان باز، به اضافه 100:^[۴]

$13\times 14=7\times 10+3\times 4+100=182$

اثبات درستی این رابطه

اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد $x$ و $y$ را به دست آوریم، به طوریکه $11\leq x\leq 15$ و $11\leq y\leq 15$ باشند. $x-10$ و $y-10$ تعداد انگشتان باز در هر دست می‌باشند؛ بنابراین حاصل ضرب $x\times y$ برابر است با:

$x\times y=10[(x-10)+(y-10)]+(x-10)(y-10)+100=10[x+y-20]+(x-10)(y-10)+10=10x+10y-200+xy-10x-10y+100+100=xy$

روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۱۶ تا ۲۰

مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۱۹×۱۶ را به دست آوریم. در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از ۱۶ تا ۲۰ شماره گذاری می‌کنیم. دو انگشتی که عدد ۱۶ و عدد ۱۹ را در هر دو دست نشان می‌دهند، روی هم قرار می‌دهیم؛ و انگشتان بعدی را می‌خوابانیم. حاصل ضرب ۱۹×۱۶برابر است با مجموع حاصل ضرب مجموع انگشتان باز در ۲۰ به اضافه حاصل ضرب انگشتان باز در هر دو دست به اضافه 200:^[۴]

$16\times 19=5\times 20+4\times 1+200=304$

اثبات درستی این رابطه

اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد $x$ و $y$ را به دست آوریم، به طوریکه $16\leq x\leq 19$ و $16\leq y\leq 19$ باشند. $x-15$ و $y-15$ تعداد انگشتان باز در هر دست می‌باشند؛ بنابراین حاصل ضرب $x\times y$ برابر است با:

$x\times y=20[(x-15)+(y-15)]+(20-x)(20-y)+200=20[x+y-30]+(20-x)(20-y)+200=20x+20y-600+400-20y-20x+xy+200=xy$

تعمیم این روش

این روش ضرب را می‌توان برای اعداد بزرگتر نیز استفاده نمود، با این شرط که هر دو عدد در یک دسته ۵ تایی مثل ۲۱ تا ۲۵، ۲۶ تا ۳۰ و دسته‌های مشابه بزرگتر قرار گرفته باشند.^[۴]

منابع

↑ شهریاری، پرویز (۱۳۹۳). در پی فیثاغورث. انتشارات امیرکبیر. صص. ۱۲۴.
↑ توکلی صابری، علیرضا (۱۳۸۱). تفریح با ریاضی. انتشارات مدرسه. صص. ۱۳۸.
↑ دیویس، هارولد (۱۳۸۴). تاریخ محاسبه. شرکت انتشارات علمی و فرهنگی. صص. ۶۹.
↑ ^۴٫۰ ^۴٫۱ ^۴٫۲ ^۴٫۳ «let your fingers do the multiplying» (PDF).

[1] شهریاری، پرویز (۱۳۹۳). در پی فیثاغورث. انتشارات امیرکبیر. صص. ۱۲۴.

[2] توکلی صابری، علیرضا (۱۳۸۱). تفریح با ریاضی. انتشارات مدرسه. صص. ۱۳۸.

[3] دیویس، هارولد (۱۳۸۴). تاریخ محاسبه. شرکت انتشارات علمی و فرهنگی. صص. ۶۹.

[:0-4] ۴٫۰ ^۴٫۱ ^۴٫۲ ^۴٫۳ «let your fingers do the multiplying» (PDF).

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

@@ خط ۱: / خط ۱: @@
-روشی که با استفاده از انگشتان دو دست می توان حاصل ضرب اعداد بزرگتر از 5 را به دست آورد.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=در پی فیثاغورث|نام خانوادگی=شهریاری|نام=پرویز|ناشر=انتشارات امیرکبیر|سال=1393|شابک=|مکان=|صفحات=124}}</ref> <ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=تفریح با ریاضی|نام خانوادگی=توکلی صابری|نام=علیرضا|ناشر=انتشارات مدرسه|سال=1381|شابک=|مکان=|صفحات=138}}</ref>
+روشی که با استفاده از انگشتان دو دست می‌توان حاصل ضرب اعداد بزرگتر از ۵ را به دست آورد.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=در پی فیثاغورث|نام خانوادگی=شهریاری|نام=پرویز|ناشر=انتشارات امیرکبیر|سال=1393|شابک=|مکان=|صفحات=124}}</ref><ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=تفریح با ریاضی|نام خانوادگی=توکلی صابری|نام=علیرضا|ناشر=انتشارات مدرسه|سال=1381|شابک=|مکان=|صفحات=138}}</ref>
 == تاریخچه ==
-اکثر باستانیان روش هایی را برای نمایش اعداد طبیعی به وسیله وضعیت های مختلف انگشتان ابداع کرده بودند. یونانی ها ، رومی ها ، مسلمان ها ، هندی ها و بسیاری اقوام دیگر چنین روش هایی داشته اند. در اروپای قرون وسطی ، نمایش اعداد به کمک انگشتان به عنوان زبان بین المللی برای ارتباط بین اقوام مختلف بسیار متداول بوده است. این زبان هنگام معامله در بازارهای بین المللی و موقعیت های دیگری که زبان مانعی بر سر راه ارتباط بود به کار می رفت.امروزه نیز اعداد انگشتی در مشرق زمین به همین منظور به کار می روند.از نمایش انگشتی اعداد ، شکل هایی از محاسبه با انگشت به وجود آمد . این روش های محاسبه از شمارش ساده تا حالت های خاصی از ضرب را در برمی گیرند. برخی از این روش ها در قرون وسطی کاربرد عام داشته اند و یکی از این گونه روش ها تا اوایل قرن بیستم هم در برخی از نقاط روستایی روسیه و فرانسه به کار می رفت. این روش را گاهی ضرب روستایی اروپایی می نامند.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=تاریخ محاسبه|نام خانوادگی=دیویس|نام=هارولد|ناشر=شرکت انتشارات علمی و فرهنگی|سال=1384|شابک=|مکان=|صفحات=69}}</ref>
+اکثر باستانیان روش‌هایی را برای نمایش اعداد طبیعی به وسیله وضعیت‌های مختلف انگشتان ابداع کرده بودند. یونانی‌ها، رومی‌ها، مسلمان‌ها، هندی‌ها و بسیاری اقوام دیگر چنین روش‌هایی داشته‌اند. در اروپای قرون وسطی، نمایش اعداد به کمک انگشتان به عنوان زبان بین‌المللی برای ارتباط بین اقوام مختلف بسیار متداول بوده‌است. این زبان هنگام معامله در بازارهای بین‌المللی و موقعیت‌های دیگری که زبان مانعی بر سر راه ارتباط بود به کار می‌رفت. امروزه نیز اعداد انگشتی در مشرق زمین به همین منظور به کار می‌روند. از نمایش انگشتی اعداد، شکل‌هایی از محاسبه با انگشت به وجود آمد. این روش‌های محاسبه از شمارش ساده تا حالت‌های خاصی از ضرب را در برمی گیرند. برخی از این روش‌ها در قرون وسطی کاربرد عام داشته‌اند و یکی از این گونه روش‌ها تا اوایل قرن بیستم هم در برخی از نقاط روستایی روسیه و فرانسه به کار می‌رفت. این روش را گاهی ضرب روستایی اروپایی می‌نامند.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=تاریخ محاسبه|نام خانوادگی=دیویس|نام=هارولد|ناشر=شرکت انتشارات علمی و فرهنگی|سال=1384|شابک=|مکان=|صفحات=69}}</ref>
-== روش ضرب با انگشتان برای اعداد 5 تا 10 ==
+== روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۵ تا ۱۰ ==
-مثال : فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب 8'''×'''9 را به دست آوریم . ابتدا هر یک از این اعداد را به صورت جمعی از عدد 5 می نویسیم.
+مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۸'''×'''۹ را به دست آوریم. ابتدا هر یک از این اعداد را به صورت جمعی از عدد ۵ می‌نویسیم.
-=5+3 و 9=5+4 بنابراین{{چپ چین}}
+۸=۵+۳ و ۹=۵+۴ بنابراین{{چپ چین}}
 '''×'''9=(5+3)(5+4)
-{{پایان چپ چین}}به همین دلیل 4 انگشت یک دست و 3 انگشت دست دیگر را می خوابانیم.انگشتهای خوابانده شده نشان دهنده تعداد دهگان حاصل ضرب می باشند که در این مثال برابر با 7=3+4 می باشد.و رقم یکان این حاصل ضرب برابر با 1'''×'''2=2 می باشد که 2 انگشتهای باز یک دست و 1 انگشت باز دست دیگر است.<ref name=":0">{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وب‌گاه=|نشانی=https://www.dccc.edu/sites/default/files/faculty/sid_kolpas/mathteacherfingers.pdf|عنوان=let your fingers do the multiplying}}</ref>
+{{پایان چپ چین}}به همین دلیل ۴ انگشت یک دست و ۳ انگشت دست دیگر را می‌خوابانیم. انگشتهای خوابانده شده نشان دهنده تعداد دهگان حاصل ضرب می‌باشند که در این مثال برابر با ۷=۳+۴ می‌باشد؛ و رقم یکان این حاصل ضرب برابر با ۱'''×'''۲=۲ می‌باشد که ۲ انگشتهای باز یک دست و ۱ انگشت باز دست دیگر است.<ref name=":0">{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://www.dccc.edu/sites/default/files/faculty/sid_kolpas/mathteacherfingers.pdf|عنوان=let your fingers do the multiplying}}</ref>
-== روش ضرب با انگشتان برای اعداد 11 تا 15 ==
+== روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۱۱ تا ۱۵ ==
-مثال : فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب 14'''×'''13 را به دست آوریم. دو دست خود را طوری نگه می داریم که پشت آنها به روی خودمان باشد .در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از 11 تا 15 شماره گذاری می کنیم. دو انگشتی که عدد 13 و عدد 14 را در هر دو دست نشان می دهند ، روی هم قرار می دهیم. و انگشتان بعد از این دو عدد را می خوابانیم. حاصل ضرب 14'''×'''13 برابر است با مجموع حاصل ضرب تعداد انگشتانی که باز هستند در 10 به اضافه مجموع انگشتان باز ، به اضافه 100 :<ref name=":0" />
+مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۱۴'''×'''۱۳ را به دست آوریم. دو دست خود را طوری نگه می‌داریم که پشت آنها به روی خودمان باشد. در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از ۱۱ تا ۱۵ شماره گذاری می‌کنیم. دو انگشتی که عدد ۱۳ و عدد ۱۴ را در هر دو دست نشان می‌دهند، روی هم قرار می‌دهیم؛ و انگشتان بعد از این دو عدد را می‌خوابانیم. حاصل ضرب ۱۴'''×'''۱۳ برابر است با مجموع حاصل ضرب تعداد انگشتانی که باز هستند در ۱۰ به اضافه مجموع انگشتان باز، به اضافه 100:<ref name=":0" />
 {{چپ چین}}
 <math>13\times14=7\times10+3\times4+100=182</math>
@@ خط ۲۰: / خط ۲۰: @@
 === اثبات درستی این رابطه ===
-اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد <math>x</math> و <math>y</math>  را به دست آوریم ، به طوریکه <math>11\leq x \leq15</math>و <math>11\leq y \leq15</math>باشند. <math>x-10</math>و <math>y-10</math>تعداد انگشتان باز در هر دست می باشند . بنابراین حاصل ضرب <math>x \times y</math>برابر است با :
+اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد <math>x</math> و <math>y</math>  را به دست آوریم، به طوریکه <math>11\leq x \leq15</math>و <math>11\leq y \leq15</math>باشند. <math>x-10</math>و <math>y-10</math>تعداد انگشتان باز در هر دست می‌باشند؛ بنابراین حاصل ضرب <math>x \times y</math>برابر است با:
 {{چپ چین}}
 <math>x\times y = 10[(x-10)+(y-10)]+ (x-10)(y-10)+100
 =10[x+y-20]+(x-10)(y-10)+10
 =10x+10y-200+xy-10x-10y+100+100
 =xy</math>
 {{پایان چپ چین}}
-== روش ضرب با انگشتان برای اعداد 16 تا 20 ==
+== روش ضرب با انگشتان برای اعداد ۱۶ تا ۲۰ ==
-مثال : فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب 19'''×'''16 را به دست آوریم. در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از 16 تا 20 شماره گذاری می کنیم. دو انگشتی که عدد 16 و عدد 19 را در هر دو دست نشان می دهند ، روی هم قرار می دهیم. و انگشتان بعدی را می خوابانیم . حاصل ضرب 19'''×'''16برابر است با مجموع حاصل ضرب مجموع انگشتان باز در 20 به اضافه حاصل ضرب انگشتان باز در هر دو دست به اضافه 200 :<ref name=":0" />
+مثال: فرض کنید بخواهیم حاصل ضرب ۱۹'''×'''۱۶ را به دست آوریم. در هر دست از انگشت شصت تا انگشت کوچک را به ترتیب از ۱۶ تا ۲۰ شماره گذاری می‌کنیم. دو انگشتی که عدد ۱۶ و عدد ۱۹ را در هر دو دست نشان می‌دهند، روی هم قرار می‌دهیم؛ و انگشتان بعدی را می‌خوابانیم. حاصل ضرب ۱۹'''×'''۱۶برابر است با مجموع حاصل ضرب مجموع انگشتان باز در ۲۰ به اضافه حاصل ضرب انگشتان باز در هر دو دست به اضافه 200:<ref name=":0" />
 {{چپ چین}}
 <math>16\times19=5\times20+4\times1+200=304</math>
 {{پایان چپ چین}}
 === اثبات درستی این رابطه ===
-اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد <math>x</math> و <math>y</math>  را به دست آوریم ، به طوریکه <math>16\leq x \leq19</math>و <math>16\leq y \leq19</math>باشند. <math>x-15</math> و <math>y-15</math>  تعداد انگشتان باز در هر دست می باشند . بنابراین حاصل ضرب <math>x \times y</math>برابر است با :
+اگر بخواهیم حاصل ضرب دو عدد <math>x</math> و <math>y</math>  را به دست آوریم، به طوریکه <math>16\leq x \leq19</math>و <math>16\leq y \leq19</math>باشند. <math>x-15</math> و <math>y-15</math>  تعداد انگشتان باز در هر دست می‌باشند؛ بنابراین حاصل ضرب <math>x \times y</math>برابر است با:
 {{چپ چین}}
 <math>x\times y=20[(x-15)+(y-15)]+(20-x)(20-y)+200=20[x+y-30]+(20-x)(20-y)+200=20x+20y-600+400-20y-20x+xy+200=xy</math>
@@ خط ۴۱: / خط ۴۱: @@
 == تعمیم این روش ==
-این روش ضرب را می توان برای اعداد بزرگتر نیز استفاده نمود ، با این شرط که هر دو عدد در یک دسته 5 تایی مثل 21 تا 25 ، 26 تا 30 و دسته های مشابه بزرگتر قرار گرفته باشند.<ref name=":0" />
+این روش ضرب را می‌توان برای اعداد بزرگتر نیز استفاده نمود، با این شرط که هر دو عدد در یک دسته ۵ تایی مثل ۲۱ تا ۲۵، ۲۶ تا ۳۰ و دسته‌های مشابه بزرگتر قرار گرفته باشند.<ref name=":0" />
 == منابع ==
-{{پانویس}}
+{{پانویس|۲}}
 [[رده:ابزار محاسبه]]