انتگرال فرینل

نمودارهای S(x) و C(x). بیشینه‌ی C(x) تقریباً برابر 0.977451424 است.

انتگرال‌های فرینل، S(x) و C(x) دو تابع غیرجبری هستند که به نام اگوستن-ژان فرینل نام‌گذاری شده‌اند. این تابع با تابع خطا ارتباط نزدیکی دارد. این انتگرال‌ها در اپتیک (مثلاً تقریب فرینل) کاربرد دارند.

تعریف

این انتگرال‌ها چنین تعریف می‌شوند: ${\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}\\[6pt]C(x)&=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}\end{aligned}}$

ویژگی‌ها

تابع فرینل مختلط C(z)

تابع فرینل مختلط S(z)

• توابع S(x) و C(x) تابع‌هایی فرد از x هستند.
• رفتار مجانبی این انتگرال‌ها در $x\to \infty$ چنین است:

${\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[6pt]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}$

• این توابع بر حسب تابع خطا چنین قابل بیان هستند:

${\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6pt]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}$

یا

${\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6pt]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fresnel Integral». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲/۴/۲۰۱۷.