توضیحHorizon skimming Kerr orbit.gif	English: Photon orbit below the ergosphere and above the horizon of an extremal Kerr black hole. Spin parameter: a=1, direction of motion: prograde. Initial conditions: radius r=1.448GM/c², polar angle θ=90°, local equatorial inclination angle i=66.1391°, constants of motion: energy E=0.475744hf, axial angular momentum Lz=0.856004GMhf/c³, Carter constant Q=1.75361GMHf/c³. Left: x,z-projection, right: x,y-projection. For a close particle orbit see here.
تاریخ	‏۲۳ ژوئن ۲۰۱۷‏
منبع	اثر شخصی
پدیدآور	Yukterez (Simon Tyran, Vienna)
دیگر نسخه‌ها

01) Coordinate time (GM/c^3)         11) BL r coordinate (GM/c^2)         21) Radius of gyration (GM/c^2)      31) Observed framedragging rate (c^3/G/M)
02) Affine parameter (GM/c^3)        12) BL φ coordinate (radians)        22) Cartesian radius (GM/c^2)        32) Local framedragging velocity (c)
03) 1st derivative (dt/dτ)           13) BL θ coordinate (radians)        23) BH Irreducible mass (M)          33) Cartesian framedragging velocity (c)
04) Grav. time dilation (dt/dτ)      14) dr/dτ (c)                        24) Kinetic energy (hf)              34) Proper velocity (c, dl/dτ)
05) Local energy (dt/dτ, mc^2)       15) dφ/dτ (c^3/G/M)                  25) Potential energy (hf)            35) Observed velocity (c, d{x,y,z}/dt)
06) Cartesian radius (GM/c^2)        16) dθ/dτ (c^3/G/M)                  26) Total energy (hf)                36) Escape velocity (c)
07) x Axis (GM/c^2)                  17) d^2r/dτ^2 (c^6/G/M)              27) Carter constant (GMhf/c^3)       37) Local r velocity (c)
08) y Axis (GM/c^2)                  18) d^2φ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2)          28) φ angular momentum (GMhf/c^3)    38) Local θ velocity (c)
09) z Axis (GM/c^2)                  19) d^2θ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2)          29) θ angular momentum (GMhf/c^3)    39) Local φ velocity (c)
10) travelled distance (GM/c^2)      20) Spin parameter (GM^2/c)          30) Radial momentum (hf/c)           40) Total local velocity (c)

All formulas come in natural units:

${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$

Coordinate time by proper time (dt/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}$

Radial coordinate time derivative (dr/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}$

Time derivative of the covariant momentum's r-component (pr/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}$

Relation to the local velocity:

${\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Latitudinal time derivative (dθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}$

Time derivative of the covariant momentum's θ-component (pθ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}$

Relation to the local velocity:

${\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

Longitudinal time derivative (dФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}$

Time derivative of the covariant momentum's Ф-component (pФ/dτ):

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}$

Carter-constant (I is the orbital inclination angel):

${\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}$

Carter k (constant):

${\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}$

Total energy (constant):

${\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}$

Angular momentum on the Ф-axis (constant):

${\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}$

with the radius of gyration

${\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}$

Frame Dragging angular velocity (dФ/dt):

${\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}$

Gravitational time dilation (dt/dτ):

${\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}$

Local velocity on the r-axis:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}$

Local velocity on the θ-axis:

${\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}$

Local velocity on the Ф-axis:

${\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}$

with the cartesian coordinates:

${\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}$

The observed velocity β is given by:

${\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}$

The local escape velocity is given by the relation:

${\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}$

Shorthand Terms:

${\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}$

Sources: ^{[1][2][3][4][5][6]}

1. ↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime, p. 2+
2. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits, p. 30+
3. ↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes, p. 5+
4. ↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait, p. 2+
5. ↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): The Bible archive copy at the Wayback Machine, p. 897+
6. ↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen

من، صاحب حقوق قانونی این اثر، به این وسیله این اثر را تحث اجازه‌نامهٔ ذیل منتشر می‌کنم:

این پرونده تحت پروانهٔ Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International منتشر شده است.

شما اجازه دارید:

• برای به اشتراک گذاشتن – برای کپی، توزیع و انتقال اثر
• تلفیق کردن – برای انطباق اثر

تحت شرایط زیر:

• انتساب – شما باید اعتبار مربوطه را به دست آورید، پیوندی به مجوز ارائه دهید و نشان دهید که آیا تغییرات ایجاد شده‌اند یا خیر. شما ممکن است این کار را به هر روش منطقی انجام دهید، اما نه به هر شیوه‌ای که پیشنهاد می‌کند که مجوزدهنده از شما یا استفاده‌تان حمایت کند.
• انتشار مشابه – اگر این اثر را تلفیق یا تبدیل می‌کنید، یا بر پایه‌ آن اثری دیگر خلق می‌کنید، می‌‌بایست مشارکت‌های خود را تحت مجوز یکسان یا مشابه با ا اصل آن توزیع کنید.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

• de.wikipedia.org/wiki/Apsidendrehung