The observed angular velocity of the frame drag in the system of the coordinate bookkeeper far away from the mass is^[1]

${\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\Xi }}}}}$

in units of ${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$ and with

${\displaystyle {\rm {\Sigma =r^{2}+a^{2}\ \cos ^{2}\theta ,\ \Delta =r^{2}-2\ r+a^{2},\ \Xi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}$

The radius of gyration is given by^[2]

${\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma }}}}}}$

and the cartesian coordinates in the bookkeeper's frame of reference are

${\displaystyle {\rm {r_{xy}={\sqrt {(a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta }}}},\ {\rm {r_{xyz}}}={\rm {\sqrt {r_{xy}^{2}+r^{2}\cos ^{2}\theta }}}}$

The gravitational time dilation component is

${\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma \ \Delta }}}}}}$

so the observed transverse velocity of a frame dragged zero angular momentum probe is

${\displaystyle {\rm {u_{\perp }=\Omega _{obs}=\omega \ r_{xy}}}}$

and the local velocity

${\displaystyle {\rm {v_{\perp }=\Omega _{loc}=\omega \ {\bar {R}}\ \varsigma }}}$

That is exactly the speed of light at the outer edge of the outer ergosphere at

${\displaystyle {\rm {r_{\text{ergo}}=1+{\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}}}$

which corresponds to a Boyer-Lindquist radius of ${\displaystyle 2}$ and a cartesian radius of ${\displaystyle {\sqrt {\rm {2^{2}+a^{2}}}}}$ at the equator.

1. ↑ Andrei & Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime, page 1, eq. 5
2. ↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes, pages 5, 6 etc

من، صاحب حقوق قانونی این اثر، به این وسیله این اثر را تحث اجازه‌نامهٔ ذیل منتشر می‌کنم:

این پرونده تحت پروانهٔ Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International منتشر شده است.

شما اجازه دارید:

• برای به اشتراک گذاشتن – برای کپی، توزیع و انتقال اثر
• تلفیق کردن – برای انطباق اثر

تحت شرایط زیر:

• انتساب – شما باید اعتبار مربوطه را به دست آورید، پیوندی به مجوز ارائه دهید و نشان دهید که آیا تغییرات ایجاد شده‌اند یا خیر. شما ممکن است این کار را به هر روش منطقی انجام دهید، اما نه به هر شیوه‌ای که پیشنهاد می‌کند که مجوزدهنده از شما یا استفاده‌تان حمایت کند.
• انتشار مشابه – اگر این اثر را تلفیق یا تبدیل می‌کنید، یا بر پایه‌ آن اثری دیگر خلق می‌کنید، می‌‌بایست مشارکت‌های خود را تحت مجوز یکسان یا مشابه با ا اصل آن توزیع کنید.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

• de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik
• de.wikipedia.org/wiki/Lense-Thirring-Effekt
• en.wikipedia.org/wiki/Lense-Thirring_precession