نابرابری برادران مارکوف

در ریاضیات، نابرابری برادران مارکوف (انگلیسی: Markov brothers' inequality) در دهه ۱۸۹۰ توسط برادران آندری مارکوف و ولادیمیر مارکوف که دو برادر ریاضیدان روس بودند، ثابت شد. این نابرابری، بیشینه مشتق یک چند جمله‌ای در یک محدوده خاص، برای حداکثرسازی آن چند جمله‌ای را اثبات می‌کند.^[۱] برای k = 1 که توسط آندره مارکوف تعریف شده‌است^[۲] و برای k = 2,3,... توسط برادرش ولادیمیر مارکوف تعریف شده‌است.^[۳]

تعریف[ویرایش]

اگر P یک چندجمله‌ای با درجهٔ ≤ n باشد برای همهٔ اعداد غیر منفی $k$ داریم:

\max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.

تساوی برای چندجمله‌ای چبیشف از نوع اول بدست می‌آید.

کاربرد[ویرایش]

نابرابری برادران مارکوف برای بدست آوردن حدهای کمتر نظریه پیچیدگی محاسباتی مورد استفاده قرار می‌گیرد که به آن روش چندجمله‌ای می‌گویند.^[۴]

منابع[ویرایش]

↑ Achiezer, N.I. (1992). Theory of approximation. New York: Dover Publications, Inc.
↑ Markov, A.A. (1890). "On a question by D. I. Mendeleev". Zap. Imp. Akad. Nauk. St. Petersburg. 62: 1–24.
↑ Markov, V.A. (1892). "О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке (On Functions of Least Deviation from Zero in a Given Interval)". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help) Appeared in German with a foreword by Sergei Bernstein as Markov, V.A. (1916). "Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen". Math. Ann. 77: 213–258. doi:10.1007/bf01456902.
↑ "Polynomial Method"

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Markov brothers' inequality». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۳ دسامبر ۲۰۱۹.

[1] Achiezer, N.I. (1992). Theory of approximation. New York: Dover Publications, Inc.

[2] Markov, A.A. (1890). "On a question by D. I. Mendeleev". Zap. Imp. Akad. Nauk. St. Petersburg. 62: 1–24.

[3] Markov, V.A. (1892). "О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке (On Functions of Least Deviation from Zero in a Given Interval)". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help) Appeared in German with a foreword by Sergei Bernstein as Markov, V.A. (1916). "Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen". Math. Ann. 77: 213–258. doi:10.1007/bf01456902.

[4] "Polynomial Method"

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]